Các dạng bài tập về sự tương giao của đồ thị hàm số và cách giải chi tiết nhất (2024)

Sự tương giao của đồ thị hàm số

LÝ THUYẾT

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C₁) và y = g (x) có đồ thị (C₂) .

Phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là f (x) = g (x).

Khi đó:

- Số giao điểm của (C₁) và (C₂) bằng với số nghiệm của phương trình (1) .

- Nghiệm x₀ của phương trình (1) chính là hoành độ x₀ của giao điểm.

- Để tính tung độ y₀ của giao điểm, ta thay hoành độ x₀ vào y = f (x).

- Điểm M (x₀ ; y₀) là giao điểm của (C₁) và (C₂).

CÁC DẠNG TOÁN HAY GẶP VÀ CÁC KỸ NĂNG CẦN THIẾT

Dạng 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị hàm số cho trước.

1. Phương pháp giải.

Cho 2 hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’). 

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x)  

Bước 2: Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và toạ độ giao điểm.

Bước 3: Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’). Thay trở lại y = f(x) (y = g(x)), ta sẽ được toạ độ giao điểm.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Biết rằng đường thẳng y = -2x + 2 cắt đồ thị hàm số y = x³ + x + 2 tại điểm duy nhất có toạ độ (x₀,y₀). Tìm y₀.

 A. y₀ = 4.           B. y₀ = 0.           C. y₀ = 2           D. y₀ = -1

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: -2x + 2 = x³ + x + 2

⇔ x³ + 3x = 0 ⇔ x = 0 → y = 2  

Chọn C.

Ví dụ 2. Biết rằng đồ thị hàm số  và đồ thị hàm số y = x² + x + 1 cắt nhau tại hai điểm. Kí hiệu (x₁,y₁),(x₂,y₂) là toạ độ của hai điểm đó. Tìm y₁ + y₂

A. y₁ + y₂ = 4     B. y₁ + y₂ = 6    C. y₁ + y₂ = 0    D. y₁ + y₂ = 2

Lời giải 

Phương trình hoành độ giao điểm:  

Khi đó y₁ + y₂ = y(1) + y(-1) = 4

Chọn A.

Dạng 2. Tìm m để sự tương giao của các đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước.

1. Phương pháp giải.

BÀI TOÁN 1: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3.

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (đồ thị hàm số).

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F(x,m) = 0 (phương trình ẩn x tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng m = f(x) 

+) Lập BBT cho hàm số y = = f(x) .

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.

* Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên khi m độc lập với x. 

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F(x,m) = 0 

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử x = x₀ là 1 nghiệm của phương trình. 

+) Phân tích: F(x,m) = 0 ⇔ (x - x₀).g(x) = 0 (là g(x) = 0 là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m ).

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2: g(x) = 0.

Phương pháp 3: Cực trị.

* Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm.

* Quy tắc:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm F(x,m) = 0 (1). Xét hàm số y = F(x,m) .

- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị y = F(x,m) cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. (2TH)

+ Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R ⇔ hàm số không có cực trị ⇔ y' = 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ Δ_y ≤ 0 

+ Hoặc hàm số có CĐ, CT và y_cđ.y_ct > 0 (hình vẽ)

                   

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị y = F(x,m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu và y_cđ.y_ct < 0.

                              

- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị y = F(x,m) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu và y_cđ.y_ct = 0.

                        

Mở rộng: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng.

1. Định lí Vi - ét.

*) Cho bậc 2: Cho phương trình ax² + bx + c = 0 có 2 nghiệm x₁, x₂ thì ta có: 

 

*) Cho bậc 3: Cho phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂,x₃ thì ta có: 

2.Tính chất của cấp số cộng: Cho 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì: a + c = 2b 

3. Phương pháp giải.

+) Điều kiện cần:  là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m.

+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra.

BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC.

Phương pháp : Cho hàm số  và đường thẳng d : y = px + q. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):  (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m).

* Các câu hỏi thường gặp:

1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 

2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ và thỏa mãn 

3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ và thỏa mãn 

4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ và thỏa mãn 

5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước: 

+) Đoạn thẳng AB = k 

+) Tam giác ABC vuông.

+) Tam giác ABC có diện tích S₀ 

 * Chú ý: Công thức tính khoảng cách: 

BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4.

Phương pháp 1: Nhẩm nghiệm.

- Nhẩm nghiệm: Giả sử x = x₀ là một nghiệm của phương trình.

- Khi đó ta phân tích: f(x,m) = (x² - x₀²)g(x) = 0  

- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 : g(x) = 0

Phương pháp 2: Ẩn phụ - tam thức bậc 2.

- Đặt t = x²,(t > 0). Phương trình: at² + bt + c = 0 (2).

- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t₁,t₂ thỏa mãn:  

- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t₁,t₂ thỏa mãn:  

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t₁,t₂ thỏa mãn: 0 = t₁ < t₂

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t₁,t₂ thỏa mãn: 0 < t₁ < t₂ 

Mở rộng: tìm m để (C) : y = ax⁴ + bx² + c cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

- Đặt t = x²,(t ≥ 0). Phương trình: at² + bt + c = 0 (2).

- Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t₁,t₂ (t₁ < t₂ ) thỏa mãn t₂ = 9t₁ .

- Kết hợp t₂ = 9t₁ với định lý vi – ét tìm được m.

* Giải nhanh :  

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = (x - 1)(x² + mx + m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: 

 

Yêu cầu bài toán ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác  

Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x⁴ - 2x² + 2017 - m = 0 có đúng ba nghiệm.

A. m = 2015.              B. m = 2016.              C. m = 2017.              D. m = 2018. 

Lời giải

Ta có x⁴ - 2x² + 2017 - m = 0 ⇔ x⁴ - 2x² = m - 2017

Xét hàm số y = x⁴ - 2x², có           

 

Yêu cầu bài toán ⇔ m - 2017 = y_CĐ ⇔ m - 2017 = 0 ⇔ m = 2017

Chọn D.

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = 2mx + m + 1 cắt đồ thị hàm số  (C) tại hai điểm phân biệt.

A. m = 1             B. m = 0           C. m > 1             D. m < 0  

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:  

⇔ 2x - 2 = (2mx + m + 1)(2x + 1) ⇔ 4mx² + 4mx + m + 3 = 0 (∗)     

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt 

Chọn D.

BÀI TẬP (có đáp án)

1. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số y = (x - 2)(x² + 1) có đồ thị (C). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. (C) không cắt trục hoành.              B. (C) cắt trục hoành tại một điểm. 

C. (C) cắt trục hoành tại hai điểm.     D. (C) cắt trục hoành tại ba điểm.

Câu 2. Biết rằng đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2x -1 cắt đồ thị hàm số y = x² - 3x + 1 tại hai điểm phân biệt A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB 

A. AB = 3                 B. AB = 2√2                 C. AB = 2                 D. AB = 1

Câu 3. Đồ thị hàm số y = -x⁴ + 2x² có bao nhiêu điểm chung với trục hoành?

A.0                   B. 2                C. 3                  D. 4

Câu 4. Tìm toạ độ giao điểm M của đồ thị hàm số  với trục tung.

A. M(0,0).                                   B. M(0,-2018)  

C. M(2018,0)                              D. M(2018,-2018)

Câu 5. Đường thẳng y = 2x + 2016 và đồ thị hàm số  có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A. 0.                    B. 1.                   C. 2.                    D. 3.

Câu 6. Gọi M,N là giao điểm của đường thẳng d : y = x + 1 và đồ thị (C) : . Tìm hoành độ trung điểm x₁ của đoạn thẳng MN.

Câu 7. Tìm trên đồ thị hàm số y = -x³ + 3x + 2 (C) hai điểm A,B mà chúng đối xứng nhau qua điểm I(-1;3).

A. A(-1;0) và B(-1;6).               B. A(0;2) và B(-2;4).       

C. A(1;4) và B(-3;2)                 D. Không tồn tại.

Câu 8. Tìm trên đồ thị hàm số  hai điểm phân biệt A,B mà chúng đối xứng nhau qua trục tung.

Câu 9. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số  sao cho khoảng cách từ M đến trục Oy bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy?

A. 0.                   B. 1                  C. 2.                   D. 3 

Câu 10. Tìm trên đồ thị hàm số  những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến trục hoành.

A. M(2;1), M(4;3) .                     B. M(0;-1), M(4;3). 

C. M(0;-1), M(3;2).                     D. M(2;1), M(3;2) .

Câu 11. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x³ - x² và đồ thị hàm số y = -x² + 5x là

A. 2.                    B. 3.                     C. 1.                     D. 0.

Câu 12. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x² + 3x và đồ thị hàm số y = x³ - x² là

A. 1.                     B. 0.                    C. 2.                    D. 3.  

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
B	D	C	B	C	C	B	B	C	B	B	D

 

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m cắt đường cong y = x³ - 3x² tại ba điểm phân biệt?

A. -4 < m < 0                 B. m > 0              C. m < -4                D.  

Câu 2. Cho phương trình 2x³ - 3x² + 2 - 2^1-2m = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.

Câu 3. Cho phương trình 2x³ - 3x² = 2m + 1. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt:

Câu 4. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = x³ - mx² + 4 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?

A. m ≠ 0                 B. m > 0                  C. m ≠ 3                  D. m > 0 

Câu 5. Phương trình x³ - 3mx + 2 = 0 có một nghiệm duy nhất khi điều kiện của m là:

A. 0 < m < 1 .         B. m < 1.                 C. m ≤ 0.                 D. m > 1 

Câu 6. Đồ thị hàm số y = x³ - (2m + 1)x² + (3m + 1)x - m - 1 luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

A. x = 2 .               B. x = 1 .                C. x = m .              D. x = 0 . 

Câu 7. Tìm m để đường thẳng d: y = m( x - 1) + 1 cắt đồ thị hàm số d: y = -x³ + 3x - 1 tại ba điểm phân biệt A(1;1),B,C 

Câu 8. Tìm m để đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2 cắt đường thẳng d: y = m( x - 1) tại ba điểm phân biệt có hoành độ là x₁, x₂, x₃ thỏa mãn x₁² + x₂² + x₃² = 5 .

A. m > -3           B. m = -3             C. m > -2            D. m = -2 

Câu 9. Đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số y = x³ + 2mx² + (m + 3)x + 4 tại ba điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4, với M(1;3). Tập tất cả các giá trị của m nhận được là:

A. m = 2 hoặc m = 3.                B. m = 3

C. m = -2 hoặc m = -3              D. m = -2 hoặc m = 3

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx - m + 1 cắt đồ thị của hàm số y = x³ - 3x² + x + 2 tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC 

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = -mx cắt đồ thị của hàm số y = x³ - 3x² - m + 2 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.

A. m = 1                                    B. m ∈ (-∞;-1)                

C. m ∈ (-∞;+∞)                          D. m ∈ (1;+∞) 

Câu 12. Với điều kiện nào của k thì phương trình 4x²(1 - x²) = 1 - k có bốn nghiệm phân biệt?

A. 0 < k < 2 .                    B. k < 3.                C. -1 < k < 1.                  D. 0 < k < 1. 

Câu 13. Cho phương trình x⁴ - 2x² + 2017 - m = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có đúng ba nghiệm ?

A. m = 2015 .                           B. m = 2016                   

C. m = 2017.                            D. m = 2018. 

Câu 14. Đường thẳng y = m và đường cong y = x⁴ - 2x² - 3 có hai điểm chung khi:

A. m > -3 hoặc m = -4 .            B. m > -4 hoặc m = -3 

C. -4 < m < -3 .                         D. m > -4

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số  cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại hai điểm phân biệt.

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = x - 2m cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

Câu 17. Gọi d là đường thẳng A(1;0) đi qua và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của tham số m để d cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh của đồ thị.

A. m ≠ 0              B. m > 0                C. m < 0             D. 0 < m ≠ 1

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = -x + m cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm A, B sao cho AB = 2√2 .

A. m = 1; m = -2.                      B. m = 1; m = -7. 

C. m = -7; m = 5.                      D. m = 1; m = -1.

Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = x - m + 2 cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho độ dài AB ngắn nhất.

A. m = -3            B. m = -1            C. m = 3              D. m = 1. 

Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng d : y = x + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau.

A. k = -1 .              B. k = -3.               C. k = -4              D. k = -2. 

Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O(0;0).

A. m = -2             B. C. m = 0              D. m = 1 

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm A và B phân biệt sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng Δ : x - 2y - 2 = 0, với O là gốc tọa độ.

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho , với O là gốc tọa độ.

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm phân biệt M và N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4, với I là tâm đối xứng của (C).

A. m = 3; m = 5                       B. m = 3; m = -3  

C. m = 3; m = -1                      D. m = -3; m = -1

Câu 25. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\ và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = 2m - 1 tại hai điểm phân biệt. 

Câu 26. Cho hàm số y = f(x), xác định trên R\{-1;1} liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng y = 2m + 1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. 

A. m ≤ -2           B. m ≥ 1             C. m ≤ -2,m ≥ 1       D. m < -2,m > 1 

Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ - 3mx² + 6mx - 8 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

A. m = 1                B. m = 2;m = -1               C. m = -1              D. m = 2

Câu 28. Cho hàm số y = x⁴ - m(m + 1)x² + m³ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

A. m > 1              B. m > -√2            C. m > √2             D. 0 < m ≠ 1 

Câu 29. Cho hàm số y = -x⁴ + 2(m + 2)x² - 4 - m với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số đã cho không có điểm chung với trục hoành?

A. 1                   B. 2                  C. 3                   D. 4 

Câu 30. Cho hàm số y = x⁴ - 2(m + 4)x² + m² với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m đề đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Đáp án

 

Xem thêm các dạng bài tập Toán liên quan khác:

Cách nhận biết đồ thị hàm số mũ, hàm số logarit (2024) mới nhất

30 bài tập Cách vẽ Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối (2024) hay, chi tiết

Cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2024) chi tiết và hay nhất

Cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương (2024) cực hay

20 bài tập Tìm cực trị của hàm số dựa vào đồ thị (2024) cực hay, có lời giải