30 Bài tập Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối (2024) hay, có đáp án chi tiết

Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = | ax + b | ta làm như sau:

Cách 1: Vẽ (C₁ ) là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn x ≥ (-b)/a , Vẽ (C₂ ) là đường thẳng y = -ax - b lấy phần đồ thị sao cho x < (-b)/a. Khi đó (C) là hợp của hai đồ thị (C₁ ) và (C₂ ).

Cách 2: Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = -ax - b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là (C).

Chú ý:

+ Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C₁ ): y = f(|x|) là gồm phần :

    - Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung;

    - Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung.

+ Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C₂ ): y = |f(x)| là gồm phần:

    - Giữ nguyên đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

    - Lấy đối xứng đồ thị (C) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.

2. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)

b) y = |-3x + 3|

Hướng dẫn:

a) Với x ≥ 0 đồ thị hàm số y = 2x là phần đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 2) và O(0; 0) nằm bên phải của đường thẳng trục tung.

Với x < 0 đồ thị hàm số y = - x là phần đường thẳng đi qua hai điểm B(-1; 1),

C (-2; 2) nằm bên trái của đường thẳng trục tung.

b) Vẽ hai đường thẳng y = -3x + 3 và y = 3x - 3 và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành.

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = |x| - 2

b) y = ||x| - 2|

Hướng dẫn:

a) Cách 1: Ta có

Vẽ đường thẳng y = x – 2 đi qua hai điểm A (0; -2), B (2; 0) và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung

Vẽ đường thẳng y = - x – 2 đi qua hai điểm A (0; -2), B (- 2; 0) và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung.

Cách 2: Đường thẳng d: y = x – 2 đi qua A (0; -2), B (2; 0).

Khi đó đồ thị của hàm số y = |x| - 2 là phần đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung

b) Đồ thị y = ||x| - 2| là gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị hàm số y = |x| - 2 ở phía trên trục hoành

- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y= |x| - 2 ở phía dưới trục hoành.

Ví dụ 3: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau:

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên [-2; 2]

Hướng dẫn:

a) Ta có:

Bảng biến thiên

Ta có y(-2) = 5; y(2) = 3

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Bảng biến thiên:

Ta có y(-2) = -1; y(2) = 1

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

3. Bài tập (có đáp án)

3.1. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số y = |2x – 4|.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

Đồ thị hàm số y = |2x – 4| được vẽ bằng cách:

+ Vẽ đường thẳng y = 2x – 4

+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành

+ Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Ta được đồ thị hàm số như hình vẽ dưới.

Bài 2: a) Vẽ đồ thị hàm số y = |2x – 1| + |x|.

b) Dựa vào đồ thị tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |2x – 1| + |x|

Hướng dẫn giải:

a) Ta có bảng xét giá trị tuyệt đối sau:

Từ đó suy ra : 

Vậy đồ thị của hàm số y = |2x – 1| + |x| gồm ba phần:

+ Đường thẳng y = 1 – 3x chỉ lấy phần đồ thị có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 0.

+ Đường thẳng y = 1 – x chỉ lấy phần đồ thị có hoành độ lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1/2 .

+ Đường thẳng y = 3x – 1 chỉ lấy phần đồ thị có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1/2 .

Ta được đồ thị hàm số y = |2x – 1| + |x| như hình vẽ dưới.

b) Nhìn vào đồ thị ta thấy điểm có tung độ nhỏ nhất thuộc đồ thị hàm số là A(1/2;1/2) .

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1/2 , đạt tại x = 1/2 .

Bài 3: a) Vẽ đồ thị hàm số  .

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

Ta có bảng xét giá trị tuyệt đối sau:

Từ đó suy ra 

Vậy đồ thị hàm số gồm ba phần:

+ Một phần đường thẳng y = 3 – 3x lấy phần có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 1/2

+ Một phần đường thẳng y = x + 1 lấy phần có hoành độ nằm giữa 1/2 và 2.

+ Một phần đường thẳng y = 3x – 2 lấy phần có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 2.

Ta có đồ thị hàm số như dưới hình:

b) Số nghiệm của phương trình  (1) phụ thuộc vào số giao điểm của đường thẳng y = m (song song với trục hoành) và đồ thị hàm số  .

+ Nếu m < 3/2 , đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số

⇒ Phương trình vô nghiệm.

+ Nếu m = 3/2 , đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại điểm duy nhất (1/2; 3/2)

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất .

+ Nếu m > 3/2 , đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm pb

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vậy: Với m < 3/2 , phương trình vô nghiệm.

Với m = 3/2 , phương trình có nghiệm duy nhất .

Với m > 3/2 , phương trình có hai nghiệm.

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Hàm số y = |x – 2| có giá trị nhỏ nhất là:

A. 0    B. 2    C. -2     D. -1.

Đáp án A

Bài 2: Giá trị của hàm số y = |2x – 3| - |-x + 1| tại x = 0 là:

A. 2    B. 4    C. -2    D. -4.

Đáp án A

Bài 3: Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?

A. y = |3x-3|    B. y = |x-1|

C. y = |3x|    D. y = |x-2| .

Đáp án A

Bài 4: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Phương trình f(x) = m có thể có tối đa bao nhiêu nghiệm?

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Đáp án D

Bài 5: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm?

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Đáp án C

Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số y = |x-2| - 1

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

Từ đó suy ra đồi thị hàm số gồm 2 phần:

+ Một phần đường thẳng y = x – 3 có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 2.

+ Một phần đường thẳng y = 1 – x có hoành độ nhỏ hơn 2.

Ta có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới:

Bài 7: Vẽ đồ thị hàm số 

Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.

Hướng dẫn giải:

Có thể nhận thấy, đồ thị hàm số  gồm hai phần:

+ Phần đường thẳng y = 3 – x với các điểm có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 1.

+ Phần đường thẳng y = 2x với các điểm có hoành độ lớn hơn 1.

Ta có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới:

Dựa vào đồ thị hàm số thấy điểm có tung độ nhỏ nhất là (1; 2).

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2, khi x = 1.

Bài 8: Tìm m để phương trình |x – 4| - |2x + 3| - m = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = |x – 4| - |2x + 3|.

Ta có bảng xét giá trị tuyệt đối dưới đây:

Suy ra: 

Vậy đồ thị hàm số gồm ba phần:

+ Phần đường thẳng y = x + 7 lấy các điểm có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng -3/2 .

+ Phần đường thẳng y = 1 – 3x lấy các điểm có hoành độ từ -3/2 đến 4.

+ Phần đường thẳng y = -x – 7 lấy các điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 4.

Ta có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới :

+ Phương trình |x – 4| - |2x + 3| - m = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ |x – 4| - |2x + 3| = m có hai nghiệm pb

⇔ Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = |x – 4| - |2x + 3| tại hai điểm phân biệt

⇔ m < 11/2 (tung độ điểm A).

Vậy với m < 11/2 thì phương trình |x – 4| - |2x + 3| - m = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 9: Bằng đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình |x| + |x-2| = m.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = |x| + |x – 2|

+ Xét x ≤ 0, hàm số trở thành y = -x + (2 – x) = 2 – 2x

+ Xét 0 < x < 2, hàm số trở thành y = x + (2 – x) = 2.

+ Xét x ≥ 2, hàm số trở thành y = x + x – 2 = 2x – 2.

Suy ra 

Đồ thị hàm số trên gồm ba phần:

+ Phần đường thẳng y = 2 – 2x lấy các điểm có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 0.

+ Phần đường thẳng y = 2 lấy các điểm có hoành độ từ 0 đến 2.

+ Phần đường thẳng y = 2x – 2, lấy các điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 2.

Ta có đồ thị như hình vẽ dưới (đường đồ thị màu đỏ):

Số nghiệm phương trình phụ thuộc số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = |x| + |x – 2|.

+ Nếu m < 2, số giao điểm là 0, phương trình vô nghiệm.

+ Nếu m = 2, số giao điểm là vô số, phương trình có vô số nghiệm.

+ Nếu m > 2, số giao điểm bằng 2, phương trình có hai nghiệm.

Kết luận: Với m < 2, phương trình vô nghiệm.

Với m = 2, phương trình có vô số nghiệm.

Với m > 2, phương trình có hai nghiệm.

Bài 10: Cho hàm số 

a) Vẽ đồ thị hàm số trên.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 

+ Xét x ≤ 1, y = (1 – x) + (3 – x) = 4 – 2x.

+ Xét 1 < x < 3, y = x – 1 + 3 – x = 2.

+ Xét x ≥ 3, y = x – 1 + x – 3 = 2x – 4.

⇒ 

Đồ thị hàm số gồm ba phần :

+ Phần đường thẳng y = 4 – 2x lấy các điểm có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 1.

+ Phần đường thẳng y = 2 lấy các điểm có hoành độ từ 1 đến 3.

+ Phần đường thẳng y = 2x – 4 lấy các điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 3.

Ta có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới :

b) Quan sát đồ thị hàm số, nhận thấy điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất bằng 2.

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại mọi x thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 3.

c) Số nghiệm của phương trình  là số giao điểm của đường thẳng y = m – 1 và đồ thị hàm số 

+ Nếu m – 1 < 2 hay m < 3 ⇒ hai đồ thị không có giao điểm ⇒ phương trình vô nghiệm.

+ Nếu m – 1 = 2 hay m = 3 ⇒ có vô số giao điểm ⇒ phương trình có vô số nghiệm.

+ Nếu m – 1 > 2 hay m > 3 ⇒ có hai giao điểm ⇒ phương trình có hai nghiệm.

Kết luận: Với m < 3, phương trình vô nghiệm.

Với m = 3, phương trình có vô số nghiệm.

Với m > 3, phương trình có hai nghiệm.