70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Kiến thức cần nhớ

a) Dãy số có giới hạn 0

Ta nói rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |u_n| nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$ hay lim u_n = 0 hay $u_n\to 0$ khi $n\to +\infty$.

b) Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (u_n) có giới hạn là số thực L nếu lim (u_n – L) = 0

Kí hiệu: $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=L$ hay lim u_n = L hay $u_n\to L$ khi $n\to +\infty$.

c) Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số (u_n) có giới hạn là $+\infty$ khi $n\to +\infty$, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu: $\lim u_n=+\infty$ hoặc $u_n\to +\infty khin\to +\infty$

Dãy số (u_n) có giới hạn là $-\infty$ khi $n\to +\infty$, nếu $\lim \left(-u_n\right)=+\infty$

Ký hiệu: $\lim u_n=-\infty$ hoặc $u_n\to -\infty khin\to +\infty$

d) Một vài giới hạn đặc biệt

$\lim u_n=0\iff \lim \left|u_n\right|=0$

$\lim \frac{1}{n}=0; \lim \frac{1}{n^k}=0,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

$\lim n^k=+\infty ,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

$\lim q^n=\left\{\begin{array}{l}0 khi\left|q\right|<1\\ +\infty khiq>1\end{array}\right.$

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* Nếu lim u_n = a và lim v_n = b và c là hằng số. Khi đó ta có :

lim(u_n + v_n) = a + b

lim(u_n - v_n) = a - b

lim(u_n v_n) = a.b

$\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b},\left(b\ne 0\right)$

lim(cu_n ) = c.a

lim|u_n | = |a|

$\lim \sqrt[3]{u_n}=\sqrt[3]{a}$

Nếu $u_n\ge 0$ với mọi n thì $a\ge 0$ và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (v_n); (u_n) và (w_n):

Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left(v_n\right)\le \left(u_n\right)\le \left({\text{w}}_n\right),\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=\lim w_n=a\end{array}\right.$ thì lim u_n = a.

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n):

Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left|u_n\right|\le v_n,\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=0\end{array}\right.$ thì lim u_n = 0.

f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (u_nv_n)

Nếu $\lim u_n=L\ne 0,\lim v_n=+\infty (hay-\infty )$. Khi đó: lim (u_nv_n)

* Quy tắc tìm giới hạn thương

g) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Xét cấp số nhân vô hạn u₁; u₁q; u₁q²; … u₁qⁿ; … có công bội |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: $S=u_1+u_{1}q+u_1{q}^2+\mathrm{....}=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

Các dạng toán về giới hạn của dãy số

Dạng 1: Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng các giới hạn đặc biệt:

$\lim u_n=0\iff \lim \left|u_n\right|=0$

$$\begin{gathered} \lim \frac{1}{n}=0;\lim \frac{1}{n^k}=0,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right) \\ \lim n^k=+\infty ,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right) \end{gathered}$$

$\lim q^n=\left\{\begin{array}{l}0khi\left|q\right|<1\\ +\infty khiq>1\end{array}\right.$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{1}{n^2}$

b) $\lim \frac{1}{n^2+n+3}$

c) $\lim \frac{1}{n\sqrt{n}}$

Lời giải

Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:

a) $\lim \frac{1}{n^2}=0$

b) $\lim \frac{1}{n^2+n+3}=0$

c) $\lim \frac{1}{n\sqrt{n}}=0$

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

b) $\lim {\left(\frac{5}{4}\right)}^{n+1}$

c) lim (-0,999)ⁿ

Lời giải

a) $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$ vì $\left|\frac{1}{2}\right|<1$

b) $\lim {\left(\frac{5}{4}\right)}^{n+1}=+\infty$ vì $\frac{5}{4}>1$

c) lim (-0,999)ⁿ = 0 vì |-0,999| < 1.

Dạng 2: Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải:

Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho n^k (với n^k là lũy thừa với số mũ lớn nhất).

Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.

Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:

$\begin{array}{l}\lim u_n=0\iff \lim \left|u_n\right|=0\\ \lim \frac{1}{n}=0;\lim \frac{1}{n^k}=0,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\\ \lim n^k=+\infty ,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\\ \lim q^n=\left\{\begin{array}{l}0 khi\left|q\right|<1\\ +\infty khiq>1\end{array}\right.\end{array}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

a) $\lim \frac{-2n^3+3n^2+4}{n^4+4n^3+n}$

b) $\lim \frac{{\left(-5\right)}^n+4^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}+4^{n+1}}$

c) $\lim \frac{2n\sqrt{n}+1}{n^2+2\sqrt{n}-3}$

Lời giải

a) $\lim \frac{-2n^3+3n^2+4}{n^4+4n^3+n}=\lim \frac{\frac{-2n^3+3n^2+4}{n^4}}{\frac{n^4+4n^3+n}{n^4}}$

$=\lim \frac{-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{4}{n^4}}{1+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^3}}=\frac{-0+0+4}{1+0+0}=0$

Vì $\lim \frac{2}{n}=0, \lim \frac{3}{n^2}=0,$$\lim \frac{4}{n^4}=0, \lim \frac{4}{n}=0$ và $\lim \frac{1}{n^3}=0$.

b) $\lim \frac{{\left(-5\right)}^n+4^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}+4^{n+1}}=\lim \frac{\frac{{\left(-5\right)}^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}}+\frac{4^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}}}{\frac{{\left(-7\right)}^{n+1}}{{\left(-7\right)}^{n+1}}+\frac{4^{n+1}}{{\left(-7\right)}^{n+1}}}$

$=\lim \frac{\frac{1}{-7}.{\left(\frac{-5}{-7}\right)}^n+\frac{1}{-7}.{\left(\frac{4}{-7}\right)}^n}{1+{\left(\frac{4}{-7}\right)}^{n+1}}=\frac{\frac{1}{-7}.0+\frac{1}{-7}.0}{1+0}=0$

Vì  $\lim {\left(\frac{-5}{-7}\right)}^n=\lim {\left(\frac{4}{-7}\right)}^n=0$

c) $\lim \frac{2n\sqrt{n}+1}{n^2+2\sqrt{n}-3}=\lim \frac{\frac{2n\sqrt{n}+1}{n^2}}{\frac{n^2+2\sqrt{n}-3}{n^2}}$

$=\lim \frac{\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n\sqrt{n}}-\frac{3}{n^2}}=\frac{0+0}{1+0-0}=0$

Vì $\lim \frac{2}{\sqrt{n}}=0,\lim \frac{1}{n^2}=0,$$\lim \frac{2}{n\sqrt{n}}=0,\lim \frac{3}{n^2}=0$

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Phương pháp giải: 

Sử dụng các công thức liên hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: $\lim \left(\sqrt[3]{n^3+3n^2}-n\right)$

Lời giải

Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (u_nv_n)

Nếu $\lim u_n=L\ne 0,\lim v_n=+\infty (hay-\infty )$. Khi đó: lim (u_nv_n)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau

a) $\lim \left(2n-\sqrt{n^3+2n-2}\right)$

b) $\lim \left(n^2-n\sqrt{4n+1}\right)$

Lời giải

Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (u_nv_n)

Nếu $\lim u_n=L\ne 0,\lim v_n=+\infty (hay-\infty )$. Khi đó: lim (u_nv_n)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2n^4-3n^3+2}{n^3+2}$

b) $\lim \frac{\left(2n-1\right){\left(3n^2+2\right)}^3}{-2n^5+4n^3-1}$

Lời giải

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau $\lim \frac{3n^2-\sqrt{2n^4+3n-2}}{4n-\sqrt{3n^2+2}}$.

Lời giải

Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho ba dãy số (v_n); (u_n) và (w_n): Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left(v_n\right)\le \left(u_n\right)\le \left({\text{w}}_n\right),\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=\lim w_n=a\end{array}\right.$ thì lim u_n = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n): Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left|u_n\right|\le v_n,\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=0\end{array}\right.$ thì lim u_n = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n+4}$

b) $\lim \left(\frac{{\left(-1\right)}^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :

a) $\lim \frac{{\sin }^{2}n}{n+2}$

b) $\lim \frac{1+\cos n^3}{2n+3}$

Lời giải

Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi

Phương pháp giải:

Cho dãy số (u_n) ở dạng công thức truy hồi, biết (u_n) có giới hạn hữu hạn

Giả sử lim u_n = a (a là số thực) thì lim u_n+1 = a.

Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a.

Ta được giới hạn của (u_n) là lim u_n = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm lim u_n biết (u_n) có giới hạn hữu hạn và $\left(u_n\right):\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+2},n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}\right.$

Lời giải

Giả sử lim u_n = a, khi đó lim u_n+1 = a

Suy ra $a=\frac{2\text{a}+3}{a+2}\Rightarrow a^2+2a=2a+3$$\iff a^2=3\iff a=\pm \sqrt{3}$

Do $u_1=1>0,u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+2}>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ nên $a>0\Rightarrow a=\sqrt{3}$

Vậy $\lim u_n=\sqrt{3}$.

Ví dụ 2: Tìm lim u_n biết (u_n) có giới hạn hữu hạn và $\left(u_n\right):\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\sqrt{2}\\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n},n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}\right.$.

Lời giải

Vì $u_1=\sqrt{2}>0;u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}>0$

Giả sử lim u_n = a (a > 0), khi đó lim u_n+1 = a

Suy ra $a=\sqrt{2+a}\iff a^2=a+2$

$$\begin{gathered} \iff a^2-a-2=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}a=-1\left(Loại\right)\\ a=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy lim u_n = 2.

Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải:

* Rút gọn (u_n) (sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội)

* Rồi tìm lim u_n theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (v_n); (u_n) và (w_n): Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left(v_n\right)\le \left(u_n\right)\le \left({\text{w}}_n\right),\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=\lim w_n=a\end{array}\right.$ thì lim u_n = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n): Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left|u_n\right|\le v_n,\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=0\end{array}\right.$ thì lim u_n = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right)$

b) $\lim \frac{1+2+3+4+\mathrm{...}+n}{\left(1+3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^n\right).\left(n+1\right)}$

Lời giải

b) $L=\lim \frac{1+2+3+4+\mathrm{...}+n}{\left(1+3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^n\right).\left(n+1\right)}$

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u₁ = 1 và d = 1.

Tổng n số hạng của cấp số cộng: $S_n=\frac{\left(u_1+u_n\right)n}{2}=\frac{\left(1+n\right)n}{2}.$

Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3 ; 3² ; 3³ ; … ; 3ⁿ là một dãy số thuộc cấp số nhân có (n+1) số hạng với u₁ = 1 và q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân: $S_{n+1}=u_1.\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-3^{n+1}}{1-3}=\frac{3^{n+1}-1}{2}.$

 Khi đó: $L=\lim \frac{\frac{\left(1+n\right)n}{2}}{\frac{3^{n+1}-1}{2}.(n+1)}=\lim \frac{n}{3^{n+1}-1}$

Vì $\left|\frac{n}{3^{n+1}-1}\right|=\left|\frac{n}{{3.3}^n-1}\right|<\frac{n}{3^n}<\frac{2^n}{3^n}={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ và $\lim {\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$

Nên $L=\lim \frac{n}{3^{n+1}-1}=0$

(Bằng quy nạp ta luôn có $n<2^n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $3^n>1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$$\Rightarrow 3^{n+1}-3^n={2.3}^n>2>1$$\Rightarrow 3^{n+1}-1>3^n$).

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: $\lim \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdot \cdot \frac{2n-1}{2n}\right)$

Lời giải

Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: $S=u_1+u_{1}q+u_1{q}^2+\mathrm{....}=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

a) $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$

b) $S=1+0,9+{\left(0,9\right)}^2+{\left(0,9\right)}^3+\dots$

Lời giải

a) $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và $q=\frac{1}{2}$.

Nên $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots =\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

b) $S=1+0,9+{\left(0,9\right)}^2+{\left(0,9\right)}^3+\dots$ là cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và q = 0,9.

Nên $S=1+0,9+{\left(0,9\right)}^2+{\left(0,9\right)}^3+\dots$$=\frac{1}{1-0,9}=10$.

Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:

a) a = 0,32111...

b) b = 2,151515...

Lời giải

a) Ta có $a=0,\mathrm{32111...}=\frac{32}{100}+\frac{1}{{10}^3}+\frac{1}{{10}^4}+\frac{1}{{10}^5}+\mathrm{...}$

Vì $\frac{1}{{10}^3}+\frac{1}{{10}^4}+\frac{1}{{10}^5}+\mathrm{...}$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{1}{{10}^3}$ và $q=\frac{1}{10}$

Nên $b=\frac{32}{100}+\frac{\frac{1}{{10}^3}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{289}{900}$.

b) Ta có $b=2,\mathrm{151515...}=2+\frac{15}{100}+\frac{15}{{100}^2}+\frac{15}{{100}^3}+\mathrm{...}$

Vì $\frac{15}{100}+\frac{15}{{100}^2}+\frac{15}{{100}^3}+\mathrm{...}$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{15}{100}$ và $q=\frac{1}{100}$

Nên $b=2+\frac{\frac{15}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{71}{33}$.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. $\lim \frac{1}{\sqrt[3]{n}}=0$.

B. $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}=0$.

C. $\lim \frac{1}{n^3}=-1$.

D. $\lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0$.

Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. ${\left(\frac{4}{3}\right)}^n$.

B. ${\left(-\frac{4}{3}\right)}^n$.

C. ${\left(-\frac{5}{3}\right)}^n$.

D. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n$.

Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. $\lim \frac{n^2-2n}{5n+5n^2}$.

B. $\lim \frac{1-2n}{5n+5}$.

C. $\lim \frac{1-2n^2}{5n+5}$.

D. $\lim \frac{1-2n}{5n+5n^2}$.

Câu 4. Tính giới hạn $\lim \frac{\sin \left(n!\right)}{n^2+1}$ bằng

A. 0.

B. 1.

C. $+\infty$.

D. 2.

Câu 5. Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1+3+5+\mathrm{...}+\left(2n-1\right)}{3n^2+4}$. Khi đó lim u_n bằng

A. $\frac{1}{3}$.

B. 0.

C. $\frac{2}{3}$.

D. 1.      

Câu 6. Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{....}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$. Khi đó lim u_n bằng

A. 2.

B. 1.

C. $\frac{3}{2}$.

D. Không có giới hạn.

Câu 7. Tính $\lim \left(n-\sqrt[3]{8n^3+3n+2}\right)$ bằng:

A. $+\infty$.

B. $-\infty$.

C. -1.

D. 0.

Câu 8. Tính $\lim \left(n+\sqrt[3]{4n^2-n^3}\right)$ bằng:

A. $-\frac{4}{3}$.

B. $+\infty$.

C. $\frac{4}{3}$.

D. -4.

Câu 9. Tính $\lim \frac{3^n-{2.5}^n}{7+{3.5}^n}$ bằng:

A. $\frac{2}{3}$.

B. $-\frac{1}{6}$.

C. $\frac{1}{7}$.

D. $-\frac{2}{3}$.

Câu 10. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?

A. $\lim \frac{2^n+3}{1-2^n}$.

B. $\lim \frac{\left(2n+1\right){\left(n-3\right)}^2}{n-2n^3}$.

C. $\lim \frac{1-2n^2}{n^2+2n}$.

D. $\lim \frac{2^n+1}{{3.2}^n-3^n}$.

Câu 11. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi $u_1=1,u_{n+1}=\frac{2\left(2u_n+1\right)}{u_n+3}$ với mọi $n\ge 1$. Biết dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn, lim u_n bằng:

A. -1.

B. 2.

C. 4.

D. $\frac{2}{3}$.

Câu 12. Giới hạn dãy số (u_n) với $u_n=\frac{3n-n^4}{4n-5}$ là

A. $-\infty$.

B. $+\infty$.

C. $\frac{3}{4}$ .

D. 0.

Câu 13. Chọn kết quả đúng của $\lim \frac{\sqrt{n^3-2n+5}}{3+5n}$.

A. 5.

B. $\frac{2}{5}$.

C. $-\infty$.

D. $+\infty$.

Câu 14. Tổng $S=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{8}\text{+}\mathrm{...}\text{+ }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{2^n}+\mathrm{...}$ bằng:

A. 1.

B. $\frac{1}{3}$.

C. $\frac{3}{4}$.

D. $\frac{2}{3}$.

Câu 15. Biểu diễn số thập phân 1,24545454545… như một phân số:

A. $\frac{249}{200}$.

B. $\frac{137}{110}$.

C. $\frac{27}{22}$.

D. $\frac{69}{55}$.

Bảng đáp án

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

(Xem trong file đính kèm bên dưới)