60 Bài tập hay nhất về Phương sai và Độ lệch chuẩn (có đáp án 2024)

Phương sai và Độ lệch chuẩn

Lí thuyết

1. Phương sai

Phương sai của bảng thống kê số liệu x kí hiệu là $s_x^2$.

Công thức tính phương sai:

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất: $n_i$, $f_i$,$x_i$  lần lượt là tần số, tần suất và giá trị của số liệu, n là số các số liệu thống kê, $\overline{x}$ là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho.

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: Trong đó $n_i$, $f_i$, $c_i$ lần lượt là tần số, tần suất, giá trị đại diện của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê, $\overline{x}$ là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho.

- Ý nghĩa của phương sai:

+ Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình).

+ Khi hai dãy số liệu có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng bé.

2. Độ lệch chuẩn

Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu $s_x$. Ta có: $s_x=\sqrt{s_x^2}$

- Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đó với số liệu được nghiên cứu.

 Phương pháp giải

- Phương pháp tính phương sai, độ lệch chuẩn:

+ Tính trung bình cộng

+ Tính độ lệch của mỗi số liệu thống kê

+ Áp dụng các công thức:$s_x=\sqrt{s_x^2}$

Đối với bảng phân bố tần số, tần suất:

Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:

Ví dụ minh họa       

Bài 1: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Lời giải:

Số trung bình cộng:

$$\begin{gathered} \overline{x}=f_1{c}_1+f_2{c}_2+\mathrm{...}+f_k{c}_k \\ =\frac{3,33}{100}.13+\frac{10}{100}.15+\frac{40}{100}.17+\frac{30}{100}.19+\frac{16,67}{100}.21 \\ \approx 17,93 \end{gathered}$$

Phương sai:

$$\begin{gathered} s_x^2=f_1{(c_1-\overline{x})}^2+f_2{(c_2-\overline{x})}^2+\mathrm{...}+f_5{(c_5-\overline{x})}^2 \\ =\frac{3,33}{100}{(13-17,93)}^2+\frac{10}{100}{(15-17,93)}^2+\frac{40}{100}{(17-17,93)}^2 \\ +\frac{30}{100}{(19-17,93)}^2+\frac{16,67}{100}{(21-17,93)}^2 \\ \approx 3,93 \end{gathered}$$

Độ lệch chuẩn: $s_x=\sqrt{s_x^2}\approx 1,98$

Bài 2: Lớp 10C của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở bảng phân bố tần số sau đây:

Hãy tính các số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn.

Lời giải:

Bài 3: Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số, tần suất.

Lời giải:

Điểm trung bình của học sinh là:

Phương sai:

Bài 4: Để biết cây đậu phát triển như thế nào sau khi gieo hạt, bạn Châu gieo 5 hạt  đậu vào 5 chậu riêng biệt và cung cấp cho chúng lượng nước, ánh sáng như nhau. Sau hai tuần, 5 hạt đậu đã nảy mầm và phát triển thành 5 cây con. Bạn Châu đo chiều cao từ rễ đến ngọn của mỗi cây (đơn vị: mi-li-mét) và ghi kết quả là mẫu số liệu sau:

112    102    106   94     101

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

$\overline{x}=\frac{112+102+106+94+101}{5}=103$.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$s^2=\frac{{\left(112-103\right)}^2+{\left(102-103\right)}^2+{\left(106-103\right)}^2+{\left(94-103\right)}^2+{\left(101-103\right)}^2}{5}=35,2$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

s = $\sqrt{s^2}=\sqrt{35,2}=\frac{4\sqrt{55}}{5}\approx 5,93$.

Bài 5: Mẫu số liệu về số lượng áo bán ra lần lượt từ tháng 1 đến tháng 12 của một doanh nghiệp là: 

430    560    450    550   760   430   525    410    635   450    800   900 

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Lời giải:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{430+560+450+550+760+430+525+410+635+450+800+900}{12}=575$.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$s^2=\frac{1}{12}$[(430 − 575)² + (560 − 575)² + (450 − 575)² + (550 − 575)² + (760 – 575)² + (430 − 575)² + (525 – 575)² + (410 − 575)² + (635 − 575)² + (450 − 575)² + (800 − 575)² + (900 – 575)²] ≈ 24829,17.

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: s = $\sqrt{s^2}=\sqrt{24829,27}\approx 157,57$.

Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của hai bạn Dũng và Huy được thống kê trong bảng sau: 

Kết quả làm bài kiểm tra môn Toán của bạn nào đồng đều hơn?

Lời giải: 

Số trung bình cộng điểm kiểm tra của bạn Dũng là:

$\overline{x_D}=\frac{8+6+7+5+9}{5}=7$.

Phương sai mẫu số liệu điểm kiểm tra của bạn Dũng là:

$s_D^2=\frac{{\left(8-7\right)}^2+{\left(6-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2+{\left(5-7\right)}^2+{\left(9-7\right)}^2}{5}=2$.

 Số trung bình cộng điểm kiểm tra của bạn Huy là:

$\overline{x_H}=\frac{6+7+7+8+7}{5}=7$.

Phương sai mẫu số liệu điểm kiểm tra của bạn Huy là:

$s_H^2=\frac{{\left(6-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2+{\left(8-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2}{5}=\frac{2}{5}=0,4$.

Vì 0,4 < 2 nên $s_H^2<s_D^2$ nên bạn Huy có kết quả kiểm tra môn Toán đồng đều hơn bạn Dũng.

Bài 2: Mẫu số liệu về số lượng áo bán ra lần lượt từ tháng 1 đến tháng 12 của một doanh nghiệp là: 

430    560    450    550   760   430   525    410    635   450    800   900 

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Lời giải:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{430+560+450+550+760+430+525+410+635+450+800+900}{12}=575$.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$s^2=\frac{1}{12}$[(430 − 575)2 + (560 − 575)2 + (450 − 575)2 + (550 − 575)2 + (760 – 575)2 + (430 − 575)2 + (525 – 575)2 + (410 − 575)2 + (635 − 575)2 + (450 − 575)2 + (800 − 575)2 + (900 – 575)2] ≈ 24829,17.

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: s =$\sqrt{s^2}=\sqrt{24829,27}\approx 157,57$.

Bài 3: Mẫu số liệu về thời gian (đơn vị: giây) chạy cự li 500 m của 5 người là: 

55,2   58,8   62,4   54      59,4   (5)

Mẫu số liệu về thời gian (đơn vị: giây) chạy cự li 1 500 m của 5 người đó là:

271,2   261   276   282    270   (6)

Tính phương sai của mẫu (5) và mẫu (6). Từ đó cho biết cự li chạy nào có kết quả đồng đều hơn.

Lời giải:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu (5) là:

$\overline{x_{\left(5\right)}}=\frac{55,2+58,8+62,4+54+59,4}{5}=57,96$.

Phương sai của mẫu số liệu (5) là:

$s_{\left(5\right)}^2=\frac{{\left(55,2-57,96\right)}^2+{\left(58,8-57,96\right)}^2+{\left(62,4-57,96\right)}^2+{\left(54-57,96\right)}^2+{\left(59,4-57,96\right)}^2}{5}$

= 9,1584.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu (6) là:

$\overline{x_{\left(6\right)}}=\frac{271,2+261+276+282+270}{5}=272,04$.

Phương sai của mẫu số liệu (6) là:

$s_{\left(6\right)}^2=\frac{1}{5}$[(271,2 − 272,04)² + (261 − 272,04)² + (276 − 272,04)² + (282 − 272,04)² + (270 − 272,04)²] = 48,3264.

Vì 9,1584 < 48,3264 nên $s_{\left(5\right)}^2<s_{\left(6\right)}^2$.

Vậy cự li chạy 500 m có kết quả đồng đều hơn.

Bài 4: Để biết cây đậu phát triển như thế nào sau khi gieo hạt, bạn Châu gieo 5 hạt  đậu vào 5 chậu riêng biệt và cung cấp cho chúng lượng nước, ánh sáng như nhau. Sau hai tuần, 5 hạt đậu đã nảy mầm và phát triển thành 5 cây con. Bạn Châu đo chiều cao từ rễ đến ngọn của mỗi cây (đơn vị: mi-li-mét) và ghi kết quả là mẫu số liệu sau:

112    102    106   94     101

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

$\overline{x}=\frac{112+102+106+94+101}{5}=103$.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$s^2=\frac{{\left(112-103\right)}^2+{\left(102-103\right)}^2+{\left(106-103\right)}^2+{\left(94-103\right)}^2+{\left(101-103\right)}^2}{5}=35,2$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

s = $\sqrt{s^2}=\sqrt{35,2}=\frac{4\sqrt{55}}{5}\approx 5,93$.

Bài tập tự luyện

Bài 1: Chọn 30 hộp chè mộ cách tùy ý trong kho của một cửa hàng và đem cân, kết quả được ghi lại trong bảng 7 (sau khi đã trừ khối lượng của vỏ):

Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Bài 2: Hàng ngày, bạn An thử ghi lại thời gian cần thiết để đi từ nhà đến trường và thực hiện trong 10 ngày, kết quả thu được ghi trong bảng sau (đơn vị: phút). Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Bài 3: Cho bảng tần số ghép lớp : Tuổi  thọ của bóng đèn (đơn vị: giờ). Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Bài 4: Cho bảng tần số ghép lớp : Điểm kiểm tra Toán của học sinh. Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Bài 5: Lớp 10D của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở bảng phân bố tần số sau đây:

Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Bài 6: Cho bảng tần số ghép lớp : Khối lượng của cá mè trong một bể (đơn vị: kg). Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Bài 7: Khi điều tra về số cây trồng được của mỗi lớp trong dịp phát động phong trào Tết trồng cây, người ta điều tra và lập được bảng dưới đây:

Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Xem thêm các dạng bài tập khác liên quan:

100 Bài tập Mệnh đề (có đáp án)

100 Bài tập về Quy tắc đếm (có đáp án năm 2023) - Toán 10

500 Bài tập hệ thức lượng trong tam giác (có đáp án năm 2023)

90 Bài tập hệ thức lượng trong tam giác (có đáp án năm 2023)

90 Bài tập giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ (có đáp án năm 2023)