Hệ thức lượng trong tam giác
Kiến thức cần nhớ
1. Định lí Côsin
Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.
b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB.
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC.
Hướng dẫn giải
Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB . AC . cos 60o = 22 + 32 – 2.2.3. = 7.
Suy ra BC = (cm)
Vậy BC = cm.
2. Định lí sin
Trong tam giác ABC: .
Ví dụ: Cho tam giác ABC có , , c = 10. Tính số đo góc C và a, b, R.
Hướng dẫn giải
Theo Định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: .
Suy ra .
Áp dụng Định lí sin, ta có:
.
Suy ra:
.
Vậy a = ; b = 10; R = 10; .
3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế
- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.
Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:
+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.
+ Biết ba cạnh.
+ Biết một cạnh và hai góc kề.
Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, , .
Hướng dẫn giải
Theo định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: .
Suy ra .
Áp dụng định lí sin, ta có:
Suy ra:
Vậy tam giác ABC có: , , ; a ≈ 34,6 ; b = 12; c ≈ 30,4.
Ví dụ: Để đo khoảng cách giữa hai đầu C và A của một hồ nước người ta không thể đi trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành như sau: Chọn 1 điểm B sao cho đo được khoảng cách BC, BA và góc BCA. Sau khi đo, ta nhận được BC = 5m, BA = 12m, . Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí sin đối với tam giác ABC ta có:
⇒
⇒ sin A =
⇒ ≈ 14°31’
⇒ ≈ 180° – (37° + 14°31’) = 128°29’.
Áp dụng định lí sin, ta có:
⇒ AC = = ≈15,61 (m)
Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m.
4. Công thức tính diện tích tam giác
Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:
+) S = pr =
+) S = bc sin A = ca sin B =ab sin C.
+) S =
+) Công thức Heron: S = .
Ví dụ:
a) Tính diện tích tam giác ABC biết các cạnh b = 14 cm, c = 35 cm và .
b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, biết các cạnh a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm.
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC, ta có:
S = bc sin A = .14.35.sin 60° = .14.35.=(cm2).
Vậy diện tích tam giác ABC là: cm2.
b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là: (cm).
Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là:
S = (cm2).
Mặt khác: S = ⇒ R = = (cm).
Ta có: S = pr ⇒ r = = = 1 (cm).
Vậy diện tích tam giác ABC là 6 cm2, bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2,5 cm; bán kính đường tròn nội tiếp là 1 cm.
Các dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác
1. Hệ thống bài tập
Dạng 1. Giải tam giác
Phương pháp giải
+ Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: Định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
Dạng 2. Hệ thức liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác, nhận dạng tam giác
Phương pháp giải
+ Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: Định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
Dạng 3. Ứng dụng thực tế
Phương pháp giải
+ Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: Định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
2. Hệ thống bài tập trắc nghiệm
Dạng 1. Định lý cosin, áp dụng định lý cosin để giải toán.
Dạng 2. Định lý sin, áp dụng định lý sin để giải toán.
Dạng 3. Diện tích tam giác, bán kính đường tròn.
Dạng 4. Ứng dụng thực tế.
Bài tập (có đáp án)
1. Bài tập vận dụng
B1. Bài tập tự luận
Bài 1: Giải tam giác ABC biết AB = 15, BC = 35, . (Độ dài cạnh AC làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc A và C làm tròn đến độ).
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2. AB. BC . cos B
= 152 + 352 – 2. 15. 35. cos 60° = 925.
Do đó AC = ≈ 30,4.
Mặt khác:
BC2 = AB2 + AC2 – 2. AB. AC . cos A
⇒ cos A = = .
⇒
⇒
Vậy tam giác ABC có:
; ; .
AB = 15, AC ≈ 30,4; BC = 35.
Bài 2: Một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Hãy tính khoảng cách từ B đến C, biết góc tạo bởi hai con đường là góc A bằng 120° và khoảng cách từ A đến B là 3 km, khoảng cách từ A đến C là 4 km.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A = 32 + 42 – 2. 3. 4 . cos 120° = 37.
⇒ BC = ≈ 6,08 (km).
Vậy khoảng cách từ B đến C khoảng 6,08 km.
Bài 3: Tính diện tích tam giác ABC biết a = 12 cm, b = 15 cm , c = 23 cm.
Hướng dẫn giải
Ta có (cm).
Áp dụng công thức Heron cho tam giác ABC ta có:
S =
S = (cm2).
Vậy diện tích tam giác ABC là 80,62 cm2.
B2. Bài tập trắc nghiệm
Bài 4. Tam giác ABC có , AB = 3, BC = 6. Tính số
đo góc B
A. 60°;
B. 45°;
C. 30°;
D. 120°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Áp dụng hệ quả của định lý côsin, ta có:
.
Bài 5. Cho tam giác ABC có a = 2, , . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: = 45°.
Do đó: .
Bài 6. Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là 5; 12; 13.
A. 60;
B. 30;
C. 34;
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nửa chu vi của tam giác là:
Diện tích của tam giác là:
2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn (62 trang)
Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:
200 Bài tập Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)
100 Bài tập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)
500 Bài tập Toán 10 bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)
60 Bài tập về Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (2024) có đáp án
300 Bài tập Toán 8 chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn (có đáp án năm 2023)