500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2024)

1900.edu.vn xin giới thiệu: Tổng hợp các dạng bài tập chương 4: Giới hạn Toán 11. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 11, giải bài tập Toán 11 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Giới hạn

Kiến thức cần nhớ

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

+) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limn+un=0 hay un → 0 khi n → +∞.

+) Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu limn+(vna)=0

Kí hiệu: limn+vn=a hay vn → a khi n → +∞.

Một vài giới hạn đặc biệt

a) limn+1n=0,limn+1nk=0 với k nguyên dương;

b) limn+qn nếu |q| < 1;

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì limn+un=limn+c=c.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho limn+un=a ta viết tắt là lim un = a.

ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

+) Định lí 1

a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

limunvn=ab (nếu b0)

Nếu un0 với mọi n và limun­ = a thì:

limun=a và a0.

TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+u3+...

=u11qq<1

GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì limunvn=0

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì limunvn=+

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì limun.vn=+.

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limxfx=L hay f(x) → L khi x → x0.

Nhận xét: limxx=x0,limxc=c với c là hằng số

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử limxx0fx=L và limxx0gx=M. Khi đó:

limxx0fx+gx=L+M;limxx0fxgx=LM;limxx0fx.gx=L.M;limxx0fxgx=LMM0;

b) Nếu fx0 và limxx0fx=L thì L0 và limxx0fx=L.

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với xx0).

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limxx0+fx=L.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limxx0fx=L.

Định lí 2

limxx0fx=Llimxx0+f(x)=limxx0fx=L

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx+fx=L

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limxfx=L

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

limx+c=c;limxc=c;limx+cxk=0;limxcxk=0.

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → –∞

GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞

Kí hiệu: limxfx=

Nhận xét:

 limx+fx=+limx+fx=

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) limx+xk=+ với k nguyên dương.

b) Nếu k chẵn thì limxxk=+;

Nếu k lẻ thì limxxk=.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

Lý thuyết Ôn tập chương 4 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương fxgx

Lý thuyết Ôn tập chương 4 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với xx0)

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

xx0+,xx0;x+;x.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)

Lời giải

Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có:

f(0) = –2 < 0

f(1) = 1 > 0

f(2) = -8 < 0

f(3) = 13 > 0

f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)

f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (0; 3) hay f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 5).

Bài 2. Giới hạn của các dãy số sau:

a) un=3n3+2n12n2n

b) un = 5n – 2n;

c) limn2+n+1n3+3n+23

Lời giải

a) limun=lim3+2n21n32n1n2

Vì lim3+2n21n3=3>0lim2n1n2=0 và 2n1n2>0 với mọi  nên theo quy tắc 3, limun=+.

b) Ta có 5n2n=5n125n

Vì lim5n=+ và lim125n=1>0 nên theo quy tắc 2, lim5n2n=+

c)

limn2+n+1n3+3n+23

Lý thuyết Ôn tập chương 4 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Ôn tập chương 4 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

=limn2+n+1n2n2+n+1+n+limn3n33n2n2nn3+3n+23+n3+3n+223=limn+1n2+n+1+n+lim3n2n2nn3+3n+23+n3+3n+223=lim1+1n1+1n+1n2+1+lim3n2n211+3n2+2n33+1+3n2+2n323=12+0=12.

Bài 3. a) Xét tính liên tục trên  của hàm số: g(x)=x2x2x2khix>25x              khi  x2.

b) Tìm a để các hàm số sau liên tục tại các điểm đã chỉ ra: fx=x+2a  khi  x<0x2+x+1   khi  x0 tại x=0

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là 

Với x > 2 thì hàm g(x)=x2x2x2 là hàm phân thức nên liên tục trên khoảng 2;+.

Với x < 2 thì hàm g(x) = 5 – x là hàm đa thức nên liên tục trên ;2.

Tại x = 2, ta có:

limx2+g(x)=limx2+x2x2x2=limx2+x+1x2x2=limx2+x+1=3limx2g(x)=limx25x=3limx2+g(x)=limx2g(x)=g(2)=3

Do đó hàm số liên tục tại x = 2.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên .

b) Ta có: limx0f(x)=limx0x+2a=2a và limx0+f(x)=limx0+x2+x+1=1

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì limx0f(x)=limx0+f(x)2a=1a=12.

Vậy a=12 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 0.

Bài 4. Chứng minh phương trình x5+2x3+15x2+14x+2=3x2+x+1 có 5 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với

 x5+2x3+15x2+14x+2=3x2+x+12x59x44x3+18x2+12x+1=0

Hàm số f(x)=x59x44x3+18x2+12x+1 liên tục trên 

Ta có:

f(2)=95<0,f(1)=1>0,f12=1932<0f(0)=1>0,f(2)=47<0,f(10)=7921>0

Do đó phương trình  có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng 2;1, 1;12, 12;0, 0;2, 2;10

Mặt khác  là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.

Bài 5. Tìm các giới hạn sau:

a) A=limx+(4x+1)3(2x+1)4(3+2x)7;

b)  B=limx3x22+x+1x2+11;

Lời giải

a) Ta có: A=limx+4+1x32+1x43x+27=8

b) Ta có:

 B=limxx32x2+x1x+1x2x1+1x21x=limx32x21x+1x21+1x21x=3

Bài 6. Tính giới hạn các hàm số sau:

a) limx1x1x+32;

b) limx+12x+3x3x39;

c) limx01x21x2+11;

d) limxx2112x5x39;

Lời giải

a)

limx1x1x+32=limx1x1x+3+2x+32x+3+2=limx1x1x+3+2x1=limx1x+3+2x+1=42=2

b)

limx+12x+3x3x39=limx+1x32x2+319x3 =31=3

c)

limx01x21x2+11=limx01x2.limx01x2+11=0

( Vì limx01x2=;limx01x2+11=0).

d)

limxx2112x5x7+x+3=limx11x21x251+1x6+3x7=21=2

Bài 7.Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) limx212x4x+1;

b) limx3x2+4x22.

Lời giải

a) Xét hàm số f(x)=12x4x+1

Tập xác định của hàm số: \14.

Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn14 và xn2 khi n+. Ta có:

limxn2f(xn)=limxn212xn4xn+1=39=13.

Do đó limx212x4x+1=13.

b) Xét gx=3x2+4x22

Tập xác định của hàm số: \±2

Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn±2 và xn khi n+. Ta có:

limxgxn=limx3xn2+4xn22=3

limx3x2+4x22=3.

Bài 8. Cho hàm số: fx=1x13x31  khi  x>1mx+2  khi  x1

Với giá trị nào của m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x1? Tìm giới hạn này.

Lời giải

Ta có:

limx1+fx=limx1+1x13x31=limx1+x2+x+13x1x2+x+1=limx1+x2+x2x1x2+x+1=limx1+x1x+2x1x2+x+1=limx1+x+2x2+x+1=33=1limx1fx=limx1mx+2=m+2

Để hàm số f(x) có giới hạn khi x1 thì limx1+fx=limx1fx

m+2=1m=1

Khi đó: limx1fx=limx1+fx=limx1fx=1.

Vậy m = -1 thì hàm số f(x) có giới hạn khi x1 và giới hạn đó bằng 1.

Bài 9:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 10:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 11:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 12:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x4 ta có

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 13:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 14:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 15:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

70 Bài tập về hàm số liên tục (2024) có đáp án hay nhất- Toán 11

70 Bài tập về định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (có đáp án năm 2023) - Toán 11

70 Bài tập về quy tắc tính đạo hàm (có đáp án năm 2023) - Toán 11

70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2023) - Toán 11

70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2023) - Toán 11

500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2024) (trang 1)
Trang 1
500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2024) (trang 2)
Trang 2
500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2024) (trang 3)
Trang 3
500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2024) (trang 4)
Trang 4
500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2024) (trang 5)
Trang 5
500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2024) (trang 6)
Trang 6
500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2024) (trang 7)
Trang 7
500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2024) (trang 8)
Trang 8
Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!