Giới hạn
Kiến thức cần nhớ
GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
+) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limn→+∞un=0 hay un → 0 khi n → +∞.
+) Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu limn→+∞(vn−a)=0
Kí hiệu: limn→+∞vn=a hay vn → a khi n → +∞.
Một vài giới hạn đặc biệt
a) limn→+∞1n=0,limn→+∞1nk=0 với k nguyên dương;
b) limn→+∞qn nếu |q| < 1;
c) Nếu un = c (c là hằng số) thì limn→+∞un=limn→+∞c=c.
Chú ý: Từ nay về sau thay cho limn→+∞un=a ta viết tắt là lim un = a.
ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
+) Định lí 1
a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì
lim (un + vn) = a + b
lim (un – vn) = a – b
lim (un.vn) = a.b
limunvn=ab (nếu b≠0)
Nếu un≥0 với mọi n và limun = a thì:
lim√un=√a và a≥0.
TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
S=u1+u2+u3+...
GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.
- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.
Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.
Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;
b) lim qn = +∞ nếu q > 1.
3. Định lí 2
a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì
b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì
c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì .
GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: hay f(x) → L khi x → x0.
Nhận xét: với c là hằng số
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) Giả sử và . Khi đó:
b) Nếu và thì và
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với ).
3. Giới hạn một bên
Định nghĩa 2
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: .
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: .
Định lí 2
GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Định nghĩa 3
a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
Chú ý:
a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → –∞
GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞
Kí hiệu:
Nhận xét:
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) với k nguyên dương.
b) Nếu k chẵn thì ;
Nếu k lẻ thì .
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với )
Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:
Bài tập tự luyện
1. Bài tập vận dụng
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)
Lời giải
Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Ta có:
f(0) = –2 < 0
f(1) = 1 > 0
f(2) = -8 < 0
f(3) = 13 > 0
f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)
f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (0; 3) hay f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 5).
Bài 2. Giới hạn của các dãy số sau:
a)
b) un = 5n – 2n;
c)
Lời giải
a)
Vì , và với mọi nên theo quy tắc 3, .
b) Ta có
Vì và nên theo quy tắc 2,
c)
Bài 3. a) Xét tính liên tục trên của hàm số:
b) Tìm a để các hàm số sau liên tục tại các điểm đã chỉ ra: tại
Lời giải
a) Tập xác định của hàm số là
Với x > 2 thì hàm là hàm phân thức nên liên tục trên khoảng .
Với x < 2 thì hàm g(x) = 5 – x là hàm đa thức nên liên tục trên .
Tại x = 2, ta có:
Do đó hàm số liên tục tại x = 2.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên .
b) Ta có: và
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
Vậy thì hàm số đã cho liên tục tại x = 0.
Bài 4. Chứng minh phương trình có 5 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với
Hàm số liên tục trên
Ta có:
Do đó phương trình có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng
Mặt khác là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.
Bài 5. Tìm các giới hạn sau:
a) ;
b) ;
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 6. Tính giới hạn các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
( Vì ).
d)
Bài 7.Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a) ;
b) .
Lời giải
a) Xét hàm số
Tập xác định của hàm số: .
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn và khi . Ta có:
Do đó
b) Xét
Tập xác định của hàm số:
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn và khi . Ta có:
Bài 8. Cho hàm số:
Với giá trị nào của m thì hàm số f(x) có giới hạn khi ? Tìm giới hạn này.
Lời giải
Ta có:
Để hàm số f(x) có giới hạn khi thì
Khi đó: .
Vậy m = -1 thì hàm số f(x) có giới hạn khi và giới hạn đó bằng 1.
Bài 9:
Lời giải:
Bài 10:
Lời giải:
Bài 11:
Lời giải:
Bài 12:
Lời giải:
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x4 ta có
Bài 13:
Lời giải:
Bài 14:
Lời giải:
Bài 15:
Lời giải:
2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn
Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:
70 Bài tập về hàm số liên tục (2024) có đáp án hay nhất- Toán 11
70 Bài tập về định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (có đáp án năm 2023) - Toán 11
70 Bài tập về quy tắc tính đạo hàm (có đáp án năm 2023) - Toán 11
70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2023) - Toán 11
70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2023) - Toán 11