50 Bài tập Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương (có đáp án năm 2024) - Toán 9

1900.edu.vn xin giới thiệu: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương Toán 9. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 9, giải bài tập Toán 9 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Kiến thức cần nhớ

1. Căn bậc hai của một tích

Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có $\sqrt{a . b} = \sqrt{a} . \sqrt{b}$ .

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{9 . 36}$ ;

b) $\sqrt{64 . 121}$ .

Lời giải:

a) $\sqrt{9 . 36} = \sqrt{9} . \sqrt{36} = 3 . 6 = 18$ .

b) $\sqrt{64 . 121} = \sqrt{64} . \sqrt{121} = 8 . 11 = 88$ .

Chú ý: Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.

Ví dụ 2. Ta có thể mở rộng đối với nhiều số không âm, chẳng hạn:

$\sqrt{81 . 100 . 144} = \sqrt{81} . \sqrt{100} . \sqrt{144}$

2. Quy tắc khai phương một tích

Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.

$\sqrt{a . b} = \sqrt{a} . \sqrt{b}$ (với a, b ≥ 0).

Ví dụ 3. Áp dụng khai phương một tích, hãy tính:

a) $\sqrt{169 . 225}$ ;

b) $\sqrt{0,25 . 1,44 . 3,24}$ .

Lời giải:

a) $\sqrt{169 . 225} = \sqrt{169} . \sqrt{225} = 13 . 15 = 195$ ;

b) $\sqrt{0,25 . 1,44 . 3,24} = \sqrt{0,25} . \sqrt{1,44} . \sqrt{3,24}$

= 0,5 . 1,2 . 1,8 = 1,08.

3. Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

$\sqrt{a} . \sqrt{b} = \sqrt{a . b}$ (với a, b ≥ 0).

Ví dụ 4. Tính:

a) $\sqrt{3} . \sqrt{27}$ ;

b) $\sqrt{2} . \sqrt{5} . \sqrt{40}$ .

Lời giải:

$\sqrt{3} . \sqrt{27} = \sqrt{3 . 27} = \sqrt{81} = 9$

$\sqrt{2} . \sqrt{5} . \sqrt{40} = \sqrt{2 . 5 . 40}$

Chú ý. Một cách tổng quát, với hai biểu thức A và B không âm ta có:

$\sqrt{A . B} = \sqrt{A} . \sqrt{B}$ .

Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có:

${(\sqrt{A})}^{2} = \sqrt{A^{2}} = A$ .

Ví dụ 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{5 a} . \sqrt{45 a}$ với a < 0;

b) $\sqrt{25 a^{4} b^{2}}$ .

Lời giải:

$\sqrt{5 a} . \sqrt{45 a} = \sqrt{5 a . 45 a} = \sqrt{225 a^{2}}$

$= \sqrt{{(15 a)}^{2}} = |15 a| = - 15 a$ (vì a < 0).

$\sqrt{25 a^{4} b^{2}} = \sqrt{25} . \sqrt{a^{4}} . \sqrt{b^{2}}$

$= 5 \sqrt{{(a^{2})}^{2}} . | b | = 5 a^{2} . | b |$

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Bài 1: Tính và so sánh: $\sqrt{(16.25)}$ và $\sqrt{16} . \sqrt{25}$

Hướng dẫn giải

$\sqrt{(16.25)} = \sqrt{400} = 20$

$\sqrt{16} . \sqrt{25} = 4.5 = 20$

Vậy $\sqrt{(16.25)} = \sqrt{16} . \sqrt{25}$

Bài 2: Tính

a. $\sqrt {0,16.0,64.225}$

b. $\sqrt {250.360}$

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt {0,16.0,64.225} = \sqrt {0,16} .\sqrt {0,64} .\sqrt {225}$

$= \sqrt {0,{4^2}} .\sqrt {0,{8^2}} .\sqrt {{{15}^2}} = 0,4.0,8.15 = 4,8$

b. $\sqrt {250.360} = \sqrt {25.36.100} = \sqrt {25} .\sqrt {36} .\sqrt {100} = 5.6.10 = 300$

Bài 3: Tính:

a. $\sqrt 3 .\sqrt {75}$

b. $\sqrt {20} .\sqrt {72} .\sqrt {4,9}$

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt 3 .\sqrt {75} = \sqrt {3.75} = \sqrt {3.3.25} = \sqrt {{{\left( {3.5} \right)}^2}} = 15$

b. $\sqrt {20} .\sqrt {72} .\sqrt {4,9} = \sqrt {20.72.4,9} = \sqrt {2.2.36.49} = \sqrt {{{\left( {2.6.7} \right)}^2}} = 2.6.7 = 84$

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau (với a và b không âm):

a. $\sqrt {3{a^3}} .\sqrt {12a}$

b. $\sqrt {2a.32a{b^2}}$

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt {3{a^3}} .\sqrt {12a} = \sqrt {3{a^3}.12a} = \sqrt {36.{a^4}} = \sqrt {{{\left( {6{a^2}} \right)}^2}} = 6{a^2}$

b. $\sqrt {2a.32a{b^2}} = \sqrt {64{a^2}{b^2}} = \sqrt {{{\left( {8ab} \right)}^2}} = 8ab$ (Do a và b không âm)

Bài 5: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

$a) \sqrt{0,09.64};$ $b) \sqrt{2^{4}.(-7)^{2}};$

$c) \sqrt{12,1.360};$ $d) \sqrt{2^{2}.3^{4}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\sqrt{0,09.64}=\sqrt{0,09}.\sqrt{64}$

$=\sqrt{(0,3)^2}.\sqrt{8^2}$

$=|0,3|. |8|$

$=0,3.8$

$=2,4.$

b) Ta có:

$\sqrt{2^{4}.(-7)^{2}}=\sqrt{2^4}.\sqrt{(-7)^2}$

$=\sqrt{(2^2)^2}.\sqrt{(-7)^2}$

$=\sqrt{4^2}.\left| -7 \right|$

$=|4|.|-7|$

$=4.7$

$=28.$

c) Ta có:

$\sqrt{12,1.360}=\sqrt{12,1.(10.36)}$

$=\sqrt{(12,1.10).36}$

$=\sqrt{121.36}$

$=\sqrt{121}.\sqrt{36}$

$=\sqrt{11^2}.\sqrt{6^2}$

$=|11|.|6|$

$=11.6$

$=66$

d) Ta có:

$\sqrt{2^{2}.3^{4}}=\sqrt{2^2}.\sqrt{3^4}$

$=\sqrt{2^{2}}.\sqrt{(3^2)^2}$

$=\sqrt{ 2^2}.\sqrt{9^2}$

$=|2|.|9|$

$=2.9$

Bài 6: Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:

$a)\sqrt{7}.\sqrt{63};$ $b) \sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48};$

$c) \sqrt{0,4}.\sqrt{6,4};$ $d) \sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\sqrt{7}.\sqrt{63}=\sqrt{7.63} =\sqrt{7.(7.9)} =\sqrt{(7.7).9}$

$=\sqrt{7^2. 3^2}=\sqrt{7^2}.\sqrt{3^2}$

$=|7|.|3|=7.3=21.$

b) Ta có:

$\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48}=\sqrt{2,5.30.48}$

$=\sqrt{2,5.(10.3).(16.3)}$

$=\sqrt{(2,5.10).(3.3).16}$

$=\sqrt{25.3^2.4^2}$

$=\sqrt{25}.\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}$

$=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}$

$=|5|.|3|.|4|=5.3.4=60.$

c) Ta có:

$\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4}=\sqrt{0,4.6,4}=\sqrt{0,4.(0,1.64)}$

$=\sqrt{(0,4.0,1).64}=\sqrt{0,04.64}$

$=\sqrt{0,04}.\sqrt{64}=\sqrt{0,2^2}.\sqrt{8^2}$

$=|0,2|.|8|=0,2.8=1,6.$

$\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}=\sqrt{2,7.5.1,5}$

$=\sqrt{(27.0,1).5.(0,5.3)}$

$=\sqrt{(27.3).(0,1.5).0,5}$

$=\sqrt{81.0,5.0,5} =\sqrt{81.0,5^2}$

$=\sqrt{81}.\sqrt{0,5^2}=\sqrt{9^2}.\sqrt{0,5^2}$

$=|9|.|0,5|=9.0,5=4,5.$

Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{0,36a^{2}}$ với $a <0;$

b) $\sqrt{a^4.(3-a)^2}$ với $a ≥ 3;$

c) $\sqrt{27.48(1 - a)^{2}}$ với $a > 1;$

d) $\dfrac{1}{a - b}. \sqrt{a^{4}.(a - b)^{2}}$ với $a > b.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\sqrt{0,36a^{2}}\ = \sqrt{0,36}.\sqrt{a^{2}}$

$=\sqrt{0,6^2}.\sqrt{a^2}$

$= 0,6.│a│$

$= 0,6. (-a)=-0,6a$

(Vì $a < 0$ nên $│a│= -a$ ).

Vì $a^{2} ≥ 0$ nên $\left| a^2 \right|= a^{2}.$

Vì $a \ge 3$ hay $3 \le a$ nên $3 - a ≤ 0$ ).

$\Rightarrow│3 - a│= -(3-a)=-3+a=a - 3.$

Ta có: $\sqrt{a^{4}.(3 - a)^{2}}= \sqrt{a^{4}} \sqrt{(3 - a)^{2}}$

$=\sqrt{(a^2)^2}.\sqrt{(3-a)^2}$

$= \left| a^{2}\right|.\left| 3 - a \right|.$

$= a^2.(a-3)=a^3-3a^2.$

Vì $a > 1$ hay $1< a$ nên $1 - a < 0$ .

$\Rightarrow \left| 1 - a\right| =-(1-a)=-1+a= a -1.$

Ta có: $\sqrt{27.48(1 - a)^{2}} = \sqrt{27.(3.16).(1 - a)^{2}}$

$=\sqrt{(27.3).16.(1-a)^2}$

$= \sqrt{81.16.(1 - a)^{2}}$

$=\sqrt {81} .\sqrt {16} .\sqrt {{{(1 - a)}^2}}$

$=\sqrt{9^2}.\sqrt{4^2}.\sqrt{(1-a)^2}$

$= 9.4. \left| {1 - a} \right| = 36.\left| {1 - a} \right|$

$= 36.(a-1)=36a-36.$

Vì $a^2 \ge 0$ , với mọi $a$ nên $\left|a^2 \right| = a^2.$

Vì $a > b$ nên $a -b > 0$ . Do đó $\left|a - b\right|= a - b.$

Ta có: $\dfrac{1}{a - b} . \sqrt{a^{4}.(a - b)^{2}}$

$= \dfrac{1}{a - b} . \sqrt{a^{4}}.\sqrt{(a - b)^{2}}$

Bài 8:

a) $\sqrt{\dfrac{2a}{3}}. \sqrt{\dfrac{3a}{8}}$ với $a ≥ 0;$

b) $\sqrt{13a}.\sqrt{\dfrac{52}{a}}$ với $a > 0;$

c) $\sqrt{5a}.\sqrt{45a} - 3a$ với $a ≥ 0;$

d) $(3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\sqrt{\dfrac{2a}{3}}.\sqrt{\dfrac{3a}{8}}=\sqrt{\dfrac{2a}{3}.\dfrac{3a}{8}}=\sqrt{\dfrac{2a.3a}{3.8}}$

$=\sqrt{\dfrac{(2.3).(a.a)}{3.8}}=\sqrt{\dfrac{6a^2}{24}}$

$=\sqrt{\dfrac{6a^2}{6.4}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{2^2}}$

$=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\left| \dfrac{a}{2}\right|= \dfrac{a}{2}.$

Vì $a \ge 0$ nên $\dfrac{a}{2} \ge 0 \Rightarrow \left| \dfrac{a}{2} \right| = \dfrac{a}{2}.$

b) Ta có:

$\sqrt{13a}.\sqrt{\dfrac{52}{a}}=\sqrt{13a.\dfrac{52}{a}}=\sqrt{\dfrac{13a.52}{a}}$

$=\sqrt{\dfrac{13a.(13.4)}{a}}=\sqrt{\dfrac{(13.13).4.a}{a}}$

$=\sqrt{13^2.4}=\sqrt{13^2}.\sqrt{4}$

$=\sqrt{13^2}.\sqrt{2^2}=13.2$

$=26$ vì $(a>0)$

Do $a\geq 0$ nên bài toán luôn được xác định có nghĩa.

Ta có: $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}- 3a=\sqrt{5a.45a}-3a$

$=\sqrt{(5.a).(5.9.a)}-3a$

$=\sqrt{(5.5).9.(a.a)}-3a$

$=\sqrt{5^2.3^2.a^2}-3a$

$=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}.\sqrt{a^2}-3a$

$=5.3.\left|a\right|-3a=15 \left|a \right| -3a.$

$=15a - 3a = (15-3)a =12a.$

Vì $a \ge 0$ nên $\left| a \right| = a.$

d) Ta có:

$(3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=\sqrt{0,2.180a^2}$

$= (3-a)^2-\sqrt{0,2.(10.18).a^2}$

Xem thêm các dạng Toán khác :

50 Bài tập Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √ A 2 = | A | (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Bảng căn bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Căn bậc hai (có đáp án năm 2023)

Được cập nhật 11/11/2023 214 lượt xem

Bởi Nguyễn Mai Hoài

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!

Bài viết cùng chủ đề

Toán 9

50 Bài tập Hàm số bậc nhất (có đáp án năm 2024) - Toán 9 chi tiết nhất

1900.edu.vn xin giới thiệu: Hàm số bậc nhất Toán 9. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 9, giải bài tập Toán 9 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

1.7k 1 năm trước

Toán 9

50 Bài tập Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (có đáp án năm 2024) - Toán 9

1900.edu.vn xin giới thiệu: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Toán 9. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 9, giải bài tập Toán 9 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

602 1 năm trước

Toán 9

50 Bài tập Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (có đáp án năm 2024) - Toán 9

1900.edu.vn xin giới thiệu: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 9, giải bài tập Toán 9 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

708 1 năm trước

50 Bài tập Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương (có đáp án năm 2024) - Toán 9

Kiến thức cần nhớ

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Bình luận (0)

Bài viết cùng chủ đề

50 Bài tập Hàm số bậc nhất (có đáp án năm 2024) - Toán 9 chi tiết nhất

50 Bài tập Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (có đáp án năm 2024) - Toán 9

50 Bài tập Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (có đáp án năm 2024) - Toán 9

Nội dung bài viết