50 Bài tập Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai (có đáp án năm 2024) - Toán 9

Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai

Kiến thức cần nhớ 

1. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

• Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$. Phép biến đổi này được gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Đôi khi, ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng thích hợp rồi mới thực hiện được phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Ví dụ 1.

a) $\sqrt{3^2.5}=\sqrt{3^2}.\sqrt{5}=3\sqrt{5}$;

b)$$\begin{gathered} \sqrt{18}=\sqrt{9.2} \\ =\sqrt{3^2}.\sqrt{2}=3\sqrt{2} \end{gathered}$$

Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có $\sqrt{A^2.B}=\left|A\right|\sqrt{B}$, tức là: 

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=A\sqrt{B}$;

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=-A\sqrt{B}$.

Ví dụ 2. Đưa thừa số ra ngoài căn:

a) $\sqrt{9x{y}^2}$với x ≥ 0, y < 0;

b) $\sqrt{20x^{2}y}$với x ≥ 0, y ≥ 0.

Lời giải:

a)$$\begin{gathered} \sqrt{9x{y}^2}=\sqrt{{\left(3y\right)}^{2}x} \\ =\left|3y\right|\sqrt{x}=-3y|\sqrt{x} \end{gathered}$$

(với x ≥ 0, y < 0);

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{20x^{2}y}=\sqrt{4x^2.5y} \\ =\sqrt{{\left(2x\right)}^2.5y} \end{gathered}$$

$=\left|2x\right|\sqrt{5y}=x\sqrt{5y}$

 (với x ≥ 0, y ≥ 0).

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}$.

Với A < 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}$.

Ví dụ 2. Đưa thừa số vào trong căn:

a) $5\sqrt{2}$;

b) $2a^2\sqrt{3a}$ với a ≥ 0.

Lời giải:

a) $$\begin{gathered} 5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2} \\ =\sqrt{25.2}=\sqrt{50} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} 2a^2\sqrt{3a}=\sqrt{{\left(2a^2\right)}^2.3a} \\ =\sqrt{4a^4.3a}=\sqrt{12a^5} \end{gathered}$$

với a ≥ 0.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn để so sánh các căn bậc hai.

Ví dụ 3. So sánh $3\sqrt{5}$ và $\sqrt{18}$.

Lời giải:

Ta có: $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}$.

Vì $\sqrt{45}>\sqrt{18}$ nên $3\sqrt{5}>\sqrt{18}$.

3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Tổng quát: Với các biểu thức A, B mà A.  B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{\left|B\right|}$.

Ví dụ 4. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

a) $\sqrt{\frac{3}{7}}$;

b) $\sqrt{\frac{11}{9a^3}}$ với a > 0

Lời giải:

a)$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{3}{7}}=\sqrt{\frac{3.7}{7.7}} \\ =\frac{\sqrt{3.7}}{\sqrt{7^2}}=\frac{\sqrt{21}}{7} \end{gathered}$$

b) Vì a > 0 nên 3a > 0. Do đó |3a| = 3a;

Vì a > 0 nên 9a³ > 0. Do đó |9a³| > 9a³.

Khi đó,

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{11}{9a^3}}=\sqrt{\frac{11.9a^3}{9a^3.9a^3}} \\ =\frac{\sqrt{11a.9a^2}}{\sqrt{{\left(9a^3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{11a}.\sqrt{9a^2}}{\left|9a^3\right|} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{\left|3a\right|\sqrt{11a}}{\left|9a^3\right|}=\frac{3a\sqrt{11a}}{9a^3} \\ =\frac{\sqrt{11a}}{3a^2} \end{gathered}$$

4. Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu số là biến đổi để biểu thức đó mất căn thức ở mẫu số.

Tổng quát:

• Với các biểu thức A, B mà B > 0 ta có: 

$\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$.

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, A ≠ B², ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}$.

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}$.

Ví dụ 5. Trục căn thức ở mẫu

a) $\frac{9}{\sqrt{2}-1}$;

b) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ .

Lời giải:

a) $\frac{9}{\sqrt{2}-1}=\frac{9(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

$$\begin{gathered} =\frac{9\sqrt{2}+9}{2-1}=\frac{9\sqrt{2}+9}{1} \\ =9\sqrt{2}+9 \end{gathered}$$

b) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}=\frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}$

$=\frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}=\sqrt{7}+\sqrt{3}$

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Bài 1: Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng tỏ 

Hướng dẫn giải

Bài 2: Rút gọn biểu thức

a.

b.

Hướng dẫn giải

a.

b.

Bài 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a.  với 

b.  với a < 0

Hướng dẫn giải

a. Ta có 

Mà 

b. Ta có 

Mà  nên 

Bài 4: 

Đưa thừa số vào trong căn:

a. 

b 

c.  với 

d.  với 

Hướng dẫn giải

a. 

b. 

c. 

d. 

Bài 5: Viết các số hoặc biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

Hướng dẫn giải

• 21.a nếu a ≥ 0
• -21.a nếu a < 0

Bài 6: Đưa thừa số vào trong dấu căn.

Với xy ≥ 0

 với x > 0

Hướng dẫn giải

(Chú ý: Muốn đưa thừa số vào trong căn thì thừa số phải là số không âm. Chẳng hạn như ở phần b, c thì chúng ta không đưa dấu "-" vào trong căn.)

b. Chú ý rằng khi đưa thừa số vào trong dấu căn thì thừa số phải là số không âm

Do đó ta có: 

c. Vì xy > 0 do đó biểu thức  có nghĩa

Ta có:

d. Với x > o thì  có nghĩa. Ta có:

Bài 7: So sánh

 và 

 và 

 và 

 và 

Hướng dẫn giải

Vậy 

Cách khác: 

b. Ta có: 

vì  nên 

c. Ta có 

Do đó 

Vậy 

Vậy 

Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau với x ≥ 0:

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0 thì  có nghĩa. Ta có:

b) Với x ≥ 0 thì  có nghĩa. Ta có:

Bài 9: Rút gọn:

 với x ≥ 0; y ≥ 0 và x ≠ 0,5

 với a > 0,5

Hướng dẫn giải

(Có  vì  và )

(Có  do  và  vì )

Xem thêm các dạng Toán khác :

50 Bài tập Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √ A 2 = | A | (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Bảng căn bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Căn bậc hai (có đáp án năm 2023)