60 Bài tập về Phương trình mũ và phương trình logarit (có đáp án năm 2024)

Phương trình mũ và phương trình logarit

Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình mũ

1.1. Phương trình mũ cơ bản

– Phương trình mũ cơ bản có dạng: a^x = b (a > 0; a ≠ 1).

Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.

Với b > 0 ta có: a^x = b$\iff$x = log_ab.

Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.

– Minh họa bằng đồ thị

Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = a^x và y = b là nghiệm của phương trình a^x = b.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị.

Rõ ràng, nếu b ≤ 0 thì hai đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm.

Nếu b > 0 ta có hai đồ thị như hình dưới đây. Trên mỗi hình, hai đồ thị luôn cắt nhau tại một điểm nên phương trình có nghiệm duy nhất.

Kết luận:

– Ví dụ 1. Giải phương trình 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 16.

Lời giải:

Ta có: 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 16.

$\iff$2.2^x + 4.2^x = 16

$\iff$6.2^x = 16

$$\begin{gathered} \iff 2^x=\frac{8}{3} \\ \iff x={\log }_2\frac{8}{3} \end{gathered}$$

Vậy $x={\log }_2\frac{8}{3}$.

1.2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số.

– Ví dụ 2. Giải phương trình $3^{x+\text{\hspace{0.17em}}2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{6-2x}$

Lời giải:

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ 3. Giải phương trình 4^x – 5. 2^x  + 6 = 0

Lời giải:

Đặt t = 2^x (với t > 0)

Phương trình đã cho trở thành: t² – 5t + 6 = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}t=2\\ t=3\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{c}{2}^x=2\Rightarrow x=1\\ 2^x=3\Rightarrow x={\log }_{2}3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = log₂3.

c) Logarit hóa.

– Ví dụ 4. Giải phương trình: $3^x.5^{x^2}=1$

Lời giải:

Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = – log₅3.

2. Phương trình logarit

– Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.

– Ví dụ 5. Các phương trình ${\log }_{2}x=4;{\log }_3^{2}x+2{\log }_{4}x=0$… đều là phương trình logarit.

2.1. Phương trình logarit cơ bản

– Phương trình logarit cơ bản có dạng: log_ax = b (a > 0; a ≠ 1).

Theo định nghĩa logarit ta có:

log_ax = b$\iff$x  = a^b

– Minh họa bằng đồ thị

Vẽ đồ thị hàm số y = log_a x và đường thẳng b trên cùng một hệ tọa độ.

Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của các hàm số y = log_ax và đường thẳng y = b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b$\in R$

Kết luận: Phương trình log_ax  = b (a > 0; a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x = a^b với mọi b.

2.2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ 6. Giải phương trình log₃x + log₉x = 6.

Lời giải:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 81.

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ 7. Giải phương trình ${\log }_5^{2}x+\text{}3{\log }_5^{}x=0$

Lời giải:

Đặt t =log₅x, phương trình đã cho trở thành:

t² + 3t = 0 nên t = 0 hoặc t = –3.

Với t = 0 thì log₅x = 0 nên x = 1.

Với t = –3 thì log₅x = –3 nên x = 5^–3.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 5^–3.

c) Mũ hóa

– Ví dụ 8. Giải phương trình: log₃(90 – 3^x) = x + 2

Lời giải:

Điều kiện của phương trình là 90 – 3^x > 0.

Phương trình đã cho tương đương với:

90 – 3^x = 3^{x + 2} hay 90 – 3^x = 9.3^x

$\iff$10.3^x = 90

$\iff$3^x = 9 nên x = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

Các dạng bài tập về phương trình mũ và phương trình logarit

(Xem thêm các dạng bài tập trong file pdf)

Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.

Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Dạng 3. Phương pháp logarit hóa, mũ hóa.

Dạng 4. Phương pháp biến đổi thành tích.

Dạng 5. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu.

Bài tập có hướng dẫn

1. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình logx = log(x + 3) - log(x - 1)

Lời giải:

Điều kiện x > 1. Khi đó phương trình tương đương với

Loại nghiệm x = -1 do không thỏa mãn điều kiện. Phương trình có một nghiệm x = 3.

Chú ý: Cũng như ở ví dụ 5, sai lầm học sinh dễ gặp bài này là do chủ quan muốn tiết kiệm thời gian mà quên đặt điều kiện, dẫn tới không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu D.

Bài 2: Nếu log7(log3(log₂x)) = 0 thì x-$\frac{1}{2}$ bằng :

Lời giải:

log7(log3(log2x)) = 0 ⇔ log3(log2x) = 70 = 1

⇔ log2x = 3t ⇔ x = 23 = 8

Bài 3: Giải phương trình log_$\sqrt{2}$(x + 1) = log₂(x² + 2) - 1

Lời giải:

Bài 4: Cho biết log_b2x + log_x2b = 1, b > 0, b ≠ 1, x ≠ 1. Khi đó x bằng?

Lời giải:

Bài 5: Cho biết 2x = 8y + 1 và 9y = 3x - 9 . Tính giá trị của x + y

Lời giải:

Bài 6: Giả sử x, y là hai số thực thỏa mãn đồng thời 3x² - 2xy = 1 và 2log₃x = log₃(y + 3). Tính x + y

Lời giải:

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

(Xem thêm các bài tập trong file pdf)

Xem thêm các dạng bài tập Toán chi tiết và hay khác:

60 Bài tập về Hàm số lũy thừa (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Lôgarit (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Nguyên hàm ( có đáp án năm 2023 )

60 Bài tập về Hàm số mũ, Hàm số logarit (2024) có đáp án