30 bài tập về Tam giác đồng dạng (2024) có đáp án chi tiết nhất

1900.edu.vn xin giới thiệu bài viết gồm bài tập và phương pháp giải Toán: Tam giác đồng dạng hay, chi tiết cùng với bài tập chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8. Mời các bạn đón xem.

Bài tập tam giác đồng dạng

I. Lý thuyết

1. Tam giác đồng dạng

a) Định nghĩa

Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Lý thuyết Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác A'B'C' nếu

Lý thuyết Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Kí hiệu: Δ ABC ∼ Δ A'B'C'

Tỉ số cách cạnh tương ứng A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC = k được gọi là tỉ số đồng dạng

b) Tính chất

Hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng có một số tính chất:

+ Δ ABC ∼ Δ A'B'C'

+ Nếu Δ ABC ∼ Δ A'B'C' thì Δ A'B'C' ∼ Δ ABC.

+ Nếu Δ A'B'C' ∼ Δ A''B''C'' và Δ A''B''C'' ∼ Δ ABC thì Δ ABC ∼ Δ A'B'C'

2. Định lý

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

Lý thuyết Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Tổng quát: Δ ABC,DE//BC ( D ∈ AB; E ∈ AC ).

Ta có: Δ ADE ∼ Δ ABC

Chú ý: Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng d cắt phần kéo dài của hai tam giác song song với cạnh còn lại.

Lý thuyết Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho Δ ABC ∼ Δ A'B'C' như hình vẽ. Tính tỉ số đồng dạng ?

Lý thuyết Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Lời giải:

Ta có Δ ABC ∼ Δ A'B'C'. Khi đó tỉ số đồng dạng là

A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC = 2/4 = 2,5/5 = 3/6 = 1/2.

Ví dụ 2. Cho Δ A'B'C' ∼ Δ A''B''C'' theo tỉ số đồng dạng k₁, Δ A''B''C'' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₂. Hỏi Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' và Δ A'B'C' ∼ Δ ABC đồng dạng theo tỉ số nào?

Lời giải:

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' là k

Ta có: Bài tập Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Điều đó chứng tỏ Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' theo tỉ số đồng dạng là k = 1/k₁

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A'B'C' ∼ Δ ABC là k₃

Thì k₁ = A'B'/A''B'', k₂ = A''B''/AB ⇒ k₃ = A'B'/AB = A'B'/A''B''.A''B''/AB = k₁.k₂

Điều đó chứng tỏ Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₃ = k₁k₂

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tam giác Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k = 3/5

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.

b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40dm. Tính chu vi của hai tam giác đã cho

Lời giải:

a) Ta có: Δ A'B'C' ∼ Δ ABC

Bài tập Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

b) Theo giả thiết ta có: P_ABC - P_A'B'C' = 40dm

Khi đó ta có: Bài tập Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

hay P_A'B'C'/40 = 3/2 ⇒ P_A'B'C' = 60( dm ); P_ABC = 20dm.

Câu 2. Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF. Chứng minh rằng:

a) AH = AK

b) AH2 = BH. CK

Lời giải:

Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

a) Đặt AB = c, AC = b. BD // AC (cùng vuông góc với AB) nên AH/AB = AC/BD = b/c => AH/HB = b/c => AH/(HB+AH) = b/(b+c)

Hay AH/AB = b/(b+c) => AH/c = b/(b+c) => AH = b.c/(b+c) (1)

AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên AK/KC = AB/CF = c/b => AK/KC = c/b => AK/(KC+AK) = c/(b+c)

Hay AK/AC = b/(b+c) => AK/b = c/(b+c) => AK = bc/(b+c) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK

b) Từ AH/HB = AC/BD = b/c và AK/KC = AB/CF = c/b suy ra AH/HB = KC/AK => AH/HB = KC/AH (Vì AH = AK) => AH2 = BH . KC

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:

a) AE2 = EK. EG

b) 1/AE = 1/AK + 1/AG

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi

Lời giải:

Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

a) Vì ABCD là hình bình hành và K thuộc BC nên AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

EK/AE = EB/ED = AE/EG => EK/AE = AE/EG => AE2 = EK.EG

b) Ta có: AE/AK = DE/DB ; AE/AG = BE/BD nên AE/AK + AE/AG = BE/BD + DE/DB = BD/BD = 1 => AE.(1/AK + 1/AG) = 1 => 1/AE = 1/AK + 1/AG (đpcm)

c) Ta có: BK/KC = AB/CG => BK/KC = a/CG (1);

KC/AD = CG/DG => KC/b = CG/DG (2)

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK/b = a/DG => BK.DG = ab không đổi

(Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)

Câu 3: Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:

a) EG = FH

b) EG vuông góc với FH

Lời giải

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG

Ta có CM = 1/2 CF = 1/3 => BM/BC = 1/3 => BE/BA = BM/BC = 1/3 => EM // AC => EM/AC = BM/BE = 2/3 => EM = 2/3 AC (1)

Tương tự, ta có: NF // BD => NF/BD = CF/CB = 2/3 => NF = 2/3 BD (2)

mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)

Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = 1/3 AC (b)

Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC vuông góc BD => EM vuông góc MG => EMG = 90º (4)

Tương tự, ta có: FNH = 90º (5)

Từ (4) và (5) suy ra EMG = FNH = 90º (c)

Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) => EG = FH

b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì PQF = 90º => QPF + QFP = 90º mà QPF = OPE (đối đỉnh), QEP = QFP ( $\bigtriangleup$ EMG = $\bigtriangleup$ FNH)

Suy ra EOP = PQF = 90º => EO vuông góc OP => EG vuông góc FH

Câu 4. Cho ABC ( AB < AC) các phân giác BD, CE

a) Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AB ở K, chứng minh E nằm giữa B và K

b) Chứng minh: CD > DE > BE

Lời giải:

Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

a) BD là phân giác nên AD/DC = AB/BC < AC/BC = AE/EB => AD/DC < AE/EB (1)

Mặt khác KD // BC nên AD/DC = AK/KB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AK/KB < AE/EB => AB/KB < AB/EB => KB > EB => E nằm giữa K và B

b) Gọi M là giao điểm của DE và CB.

Ta có CBD = KDB (Góc so le trong) => KBD = KDB

mà E nằm giữa K và B nên KDB > EDB => KBD > EDB => EBD > EDB => EB < DE

Ta lại có CBD + ECB = EDB + DEC => DEC > ECB => DEC > DCE (Vì DCE = ECB)

Suy ra CD > ED => CD > ED > BE

Câu 5: Cho $\bigtriangleup$ ABC có, AB = 8 cm, BC = 10 cm.

a) Tính AC

b) Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao nhiêu?

Lời giải:

Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

Cách 1: Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC

$\bigtriangleup$ ACD $\bigtriangleup$ ABC (g.g) => AC/AB = AD/AC

= > AC2 = AB.AD = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 => AC = 12 cm

Cách 2: Vẽ tia phân giác BE của $\bigtriangleup$ ABE $\bigtriangleup$ ACB

AB/AC = AE/AB = BE/CB = AC/(AB+CB) => AC2 = AB(AB + CB)= 8(8 + 10) = 144 => AC = 12 cm

b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1)

Vì b > a nên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2

+ Nếu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac => 2a + 1 = ac => a(c – 2) = 1

=> a = 1; b = 2; c = 3 (loại)

+ Nếu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4

- Với a = 1 thì c = 8 (loại)

- Với a = 2 thì c = 6 (loại)

- với a = 4 thì c = 6 ; b = 5

Vậy a = 4; b = 5; c = 6

Câu 6: Cho $\bigtriangleup$ ABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E trên AC sao cho . Chứng minh rằng

a) $\bigtriangleup$ DBO đồng dạng $\bigtriangleup$ OCE

b) $\bigtriangleup$ DOE đồng dạng $\bigtriangleup$ DBO đồng dạng $\bigtriangleup$ OCE

c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED

d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB

Lời giải:

Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

a) Từ CE = OB2/BD => CE/OB = OB/BD và B = C (gt) => $\bigtriangleup$ DBO đồng dạng $\bigtriangleup$ OCE

b) Từ câu a suy ra O3 = E2 (1)

Vì B, O ,C thẳng hàng nên O3 + DOE + EOC = 180º (2)

trong tam giác EOC thì E2 + C + EOC = 180º (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra DOE = B = C

$\bigtriangleup$ DOE và $\bigtriangleup$ DBO có DO/DB = OE/OC (Do $\bigtriangleup$ DBO đồng dạng $\bigtriangleup$ OCE) và DO/DB = OE/OB (Do OC = OB) và DOE = B = C nên $\bigtriangleup$ DOE đồng dạng $\bigtriangleup$ DBO đồng dạng $\bigtriangleup$ OCE

c) Từ câu b suy ra D1 = D2 => DO là phân giác của các góc BDE

Cũng từ câu b suy ra E1 = E2 => EO là phân giác của các góc CED

d) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi => OI không đổi khi D di động trên AB

Câu 7: Cho tam giác vuông ABC (Â = ${{90}^{0}}$ ) có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Từ D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, CD và DE.

b) Tính diện tích các tam giác ABD và ACD.

Lời giải

Các trường hợp đồng dạng của tam giác

a. Ta có tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Pi – ta – go ta có:

$\begin{align} & A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Rightarrow B{{C}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}=225 \\ & \Rightarrow BC=15cm \\ \end{align}$

Ta lại có AD là phân giác góc $\widehat{A}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DAE}=\frac{{{90}^{0}}}{2}={{45}^{0}}$

Mặt khác tam giác ADE vuông tại E suy ra tam giác ADE vuông cân tại E

$\Rightarrow EA=ED$

Xét tam giác ABC và tam giác DEC có:

$\widehat{A}=\widehat{E}={{90}^{0}}$

$\widehat{C}$ chung

$\begin{align} & \Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta EDC \\ & \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{EC}{AC} \\ & \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{AC-AE}{AC} \\ \end{align}$

$\begin{align} & \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{AC-DE}{AC}\text{ }\left( ED=EA \right) \\ & \Rightarrow \frac{DE}{9}=\frac{12-DE}{12} \\ & \Rightarrow 12DE=9\left( 12-DE \right) \\ & \Rightarrow 12DE=108-9DE \\ & \Rightarrow 21DE=108\Rightarrow DE=AE=\frac{36}{7}cm \\ \end{align}$

$\begin{align} & \Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta EDC \\ & \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}\Rightarrow \frac{\frac{36}{7}}{9}=\frac{DC}{15}\Rightarrow DC=\frac{36}{7}.15:9=\frac{60}{7}cm \\ & \Rightarrow BD=BC-DC=15-\frac{60}{7}=\frac{45}{7}cm \\ \end{align}$

b. Diện tích tam giác ADC là: ${{S}_{ADC}}=\frac{1}{2}.DE.AC=\frac{1}{2}.\frac{36}{7}.12=\frac{216}{7}c{{m}^{2}}$

Diện tích tam giác ABC là: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.9.12=54c{{m}^{2}}$

Vậy diện tích tam giác BAD là: ${{S}_{ABD}}={{S}_{ABC}}-{{S}_{ADC}}=54-\frac{216}{7}=\frac{162}{7}c{{m}^{2}}$

Câu 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm; và góc $\widehat{DAB}=\widehat{DBC}$ .

a) Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.

b) Tính độ dài các cạnh BC và CD.

Lời giải

Các trường hợp đồng dạng của tam giác

Gọi E là giao điểm của AD và CB

Ta có $\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{B}_{1}}}\Rightarrow \Delta ABE$ cân tại E $\Rightarrow EA=BE$ (1)

Ta coa AB // BC (do ABCD là hình thang) $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{D}_{1}}} \\ \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}} \\ \end{matrix} \right.$ (vị trí so le trong) $\Rightarrow \Delta ECD$ cân tại E $\Rightarrow EC=ED$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow EA+ED=BE+EC\Rightarrow AD=BC$

Suy ra hình thang ABCD là hình thang cân $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{A}=\widehat{B} \\ \widehat{D}=\widehat{C} \\ \end{matrix} \right.$

Xét tam giác ABC và tam giác ABD

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =15cm; AC = 20cm. Kẻ đường cao AH

a/ Chứng minh: ΔABC đồng dạng ΔHBA từ đó suy ra: $A{{B}^{2}}=BC.BH$

b/ Tính BH và CH.

Lời giải

Các trường hợp đồng dạng của tam giác

Theo định lí Pitago ta có: $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Rightarrow BC=\sqrt{{{15}^{2}}+{{20}^{2}}}=25cm$

Xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác ABC vuông tại A ta có:

$\widehat{ABH}$ chung

Suy ra tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA

$\begin{align} & \Rightarrow \frac{AB}{CB}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=BH.CB \\ & \Rightarrow BH=\frac{A{{B}^{2}}}{CB}=\frac{{{15}^{2}}}{25}=9\left( cm \right) \\ & \Rightarrow CH=BC-BH=25-9=16\left( cm \right) \\ \end{align}$

Câu 10: Ta có Δ MNP ∼ Δ ABC thì

A. MN/AB = MP/AC

B. MN/AB = MP/BC

C. MN/AB = NP/AC

D. MN/BC = NP/AC

Lời giải:

Ta có: Δ MNP ∼ Δ ABC ⇒ MN/AB = NP/BC = MP/AC

Chọn đáp án A.

Câu 11: Cho Δ ABC ∼ Δ A'B'C' có AB = 3A'B'. Kết quả nào sau đây sai?

A. Aˆ = A'ˆ; Bˆ = B'ˆ

B. A'C' = 1/3AC

C. AC/BC = A'C'/B'C' = 3

D. AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'

Lời giải:

Ta có: Δ ABC ∼ Δ A'B'C' ⇒ Bài tập Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Đáp án C sai.

Chọn đáp án C.

Câu 13: Cho Δ ABC ∼ Δ A'B'C' có AB/A'B' = 2/5. Biết hiệu số chu vi của Δ A'B'C' và Δ ABC là 30cm. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Chu vi của Δ ABC là 20cm, chu vi của Δ A'B'C' là 50cm.

B. Chu vi của Δ ABC là 50cm, chu vi của Δ A'B'C' là 20cm.

C. Chu vi của Δ ABC là 45cm, chu vi của Δ A'B'C' là 75cm.

D. Cả 3 đáp án đều sai.

Lời giải:

Ta có: Δ ABC ∼ Δ A'B'C'

Bài tập Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Khi đó Bài tập Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Mà P_A'B'C' - P_ABC = 30cm.

Suy ra

Bài tập Khái niệm hai tam giác đồng dạng | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Vậy chu vi của Δ ABC là 20cm, chu vi của Δ A'B'C' là 50cm.

Chọn đáp án A.

Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác:

300 Bài tập Toán 8 chương 3: Tam giác đồng dạng (có đáp án năm 2024)

60 Bài tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông (có đáp án năm 2024) 60 Bài tập về trường hợp đồng dạng thứ ba trong tam giác (có đáp án năm 2024)

50 Bài tập về trường hợp đồng dạng thứ hai trong tam giác (có đáp án năm 2024)

60 Bài tập về trường hợp đồng dạng thứ nhất trong tam giác (có đáp án năm 2024)

60 Bài tập về Khái niệm tam giác đồng dạng (có đáp án năm 2024)

Được cập nhật 28/04/2024 30 lượt xem

Bởi Trang Quỳnh

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!

Bài viết cùng chủ đề

Tổng hợp các dạng bài tập Toán

30 Bài tập các mẹo tính đạo hàm 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài viết gồm bài tập và phương pháp giải Toán: các mẹo tính đạo hàm hay, chi tiết cùng với bài tập chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12 . Mời các bạn đón xem.

10 18 giờ trước

Tổng hợp các dạng bài tập Toán

50 Bài tập các loại kí hiệu hình học 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài viết gồm bài tập và phương pháp giải Toán: các loại kí hiệu hình học hay, chi tiết cùng với bài tập chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem.

10 21 giờ trước

Tổng hợp các dạng bài tập Toán

30 bài tập các hình học không gian lớp 12 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài tập và tóm tắt lý thuyết Toán: các hình học không gian lớp 12 hay, chi tiết cùng với bài tập trắc nghiệm chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12. Mời các bạn đón xem:

14 1 ngày trước

30 bài tập về Tam giác đồng dạng (2024) có đáp án chi tiết nhất

I. Lý thuyết

II. Ví dụ minh họa

III. Bài tập vận dụng

Bình luận (0)

Bài viết cùng chủ đề

30 Bài tập các mẹo tính đạo hàm 2024 (có đáp án)

50 Bài tập các loại kí hiệu hình học 2024 (có đáp án)

30 bài tập các hình học không gian lớp 12 2024 (có đáp án)

Nội dung bài viết