60 Bài tập về Khái niệm tam giác đồng dạng (có đáp án năm 2024) - Toán 8

Bài giảng Toán 8 Bài 4: Khái niệm tam giác đồng dạng

Kiến thức cần nhớ

1.Tam giác đồng dạng

a) Định nghĩa

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\hat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}; \hat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{B}\text{'}}; \hat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{C}\text{'}}$ và $\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{BC}}$

Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC được kí hiệu là ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC.

Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{BC}}=\mathrm{k}$ được gọi là tỉ số đồng dạng

b) Tính chất

Các tính chất của hai tam giác đồng dạng:

Tính chất 1. Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó.

Tính chất 2. Nếu ∆ABC$\infty$∆ A’B’C’ thì ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC.

Tính chất 3. Nếu ∆A’B’C’$\infty$∆ A”B”C” và ∆A”B”C”$\infty$∆ ABC thì ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC.

Ví dụ 1. Cho ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC như hình vẽ. Tính tỉ số đồng dạng ?

Lời giải:

Ta có ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC. Khi đó tỉ số đồng dạng là

$\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{BC}}=\frac{2}{4}=\frac{2,5}{5}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

2. Định lý

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

- Chú ý: Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng d cắt phần kéo dài của hai tam giác song song với cạnh còn lại.

Các dạng bài toán về khái niệm tam giác đồng dạng

(Xem chi tiết trong file đính kèm)

Dạng 1. Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác cho trước. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

1. Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác cho trước.

+ Xác định tỉ số đồng dạng.

+ Kẻ đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

2. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

+ Sử dụng định nghĩa hoặc định lí nhận biết hai tam giác đồng dạng.

Dạng 2: Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thông qua các tam giác đồng dạng.

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức cạnh thông qua các tam giác đồng dạng.

Dạng 4. Bài tập nâng cao.

Bài tập (có hướng dẫn giải)

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC có $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\frac{3}{7}$. Biết hiệu số chu vi của ∆A’B’C’ và ∆ABC là 40cm. Tính chu vi của hai tam giác ABC và A’B’C’

Lời giải:

Ta có: ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC nên:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{3}{7}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{3}{7}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}+\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}+\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}$

Khi đó $\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}}{{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}}=\frac{3}{7}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}=\frac{3}{7}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}}$

Mà P_A’B’C’ – P_ABC = 40cm

Nên: ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}-\frac{3}{7}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=40\iff \frac{4}{7}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=40$

Nên P_A’B’C’ = 70cm và P_ABC = 30 cm.

Vậy chu vi của ∆ ABCD là 30cm, chu vi của ∆A’B’C’ là 70cm.

Bài 2. Cho ∆ MNP có MN = 4cm; NP = 6cm; PQ = 8cm. Tam giác M’N’P’ đồng dạng với tam giác MNP có độ dài cạnh lớn nhất là 16 cm. Tính độ dài các cạnh còn lại của ∆M’N’P’?

Lời giải:

Tam giác MNP có cạnh PQ dài nhất.

Mà ∆M’N’P’$\infty$∆ MNP nên cạnh P’Q’ là cạnh dài nhất trong tam giác M’N’P’

Ta có: ∆M’N’P’$\infty$∆ MNP

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{\mathrm{M}\text{'}\mathrm{N}\text{'}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{N}\text{'}\mathrm{P}\text{'}}{\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{M}\text{'}\mathrm{P}\text{'}}{\mathrm{MP}} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{M}\text{'}\mathrm{N}\text{'}}{4}=\frac{\mathrm{N}\text{'}\mathrm{P}\text{'}}{6}=\frac{16}{8}=2 \end{gathered}$$

Suy ra: M’N’ = 2.4 = 8 cm

N’P’ = 6.2 = 12 cm.

Vậy độ dài các cạnh còn lại M’N’ = 8cm và N’P’ = 12 cm.

Bài 3. Cho ∆ ABC ∆ MNP có tỉ số đồng dạng là $\mathrm{k}=\frac{2}{7}$, chu vi của ∆ABC bằng 12cm. Chu vi của ∆MNP là?

Lời giải:
Ta có: ∆ ABC$\infty$∆ MNP nên:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MP}}=\frac{2}{7}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MP}}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}}{\mathrm{MN}+\mathrm{NP}+\mathrm{MP}}=\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}}{{\mathrm{P}}_{\mathrm{MNP}}}=\frac{2}{7}$

Mà P_ABC = 12cm nên P_MNP = 42 cm.

Vậy chu vi tam giác MNP là 42 cm.

2. Bài tập tự luyện

(Xem trong file đính kèm)

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

60 Bài tập về trường hợp đồng dạng thứ nhất trong tam giác (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về trường hợp đồng dạng thứ ba trong tam giác (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông (có đáp án năm 2023)

300 Bài tập Toán 8 chương 3: Tam giác đồng dạng (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Tính chất đường phân giác của tam giác (có đáp án năm 2023)