Bài tập về các dạng toán tìm x lớp 3 học kỳ 2

I. Lý thuyết

1. Công thức khối đa diện

1.1. Công thức khối chóp

Công thức tính thể tích của khối chóp: V = 13.h.S_đ

1.1.1. Hình chóp tam giác đều

Đ/n: Là hình có tất cả các cạnh bên bằng nhau và đáy là tam giác đều có độ dài a.

1.1.2. Tứ diện đều

Đ/n: Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều, đặc biệt là cạnh bên bằng với cạnh đáy và bằng a như hình dưới.

1.1.3. Hình chóp tứ giác đều

Đ/n: là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông

1.1.4. Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy

1.1.5. Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy

1.2. Công thức khối lăng trụ

1.2.1. Hình lăng trụ thường

Khối lăng trụ có đặc điểm:

• Hai đáy là hình giống nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song.
• Các cạnh bên song song và bằng nhau. Các mặt bên là các hình bình hành.
• Thể tích V = h.S_đ

1.2.2. Hình lăng trụ đứng

Các cạnh bên cùng vuông góc với hai mặt đáy nên mỗi cạnh bên cũng là đường cao của lăng trụ.

Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng và có hai đáy là tam giác đều bằng nhau

1.2.3. Hình hộp

Đ/n: Hình có các mặt là hình bình hành gọi là hình hộp

2. Công thức mặt nón

Đ/N: Quay Δ vuông SOM quanh trục SO, ta được mặt nón như hình vẽ với h = SO và r = OM

3. Công thức mặt trụ

Đ/n: Mặt trụ được hình thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đường sinh trung bình OO’

4. Những công thức mặt cầu quan trọng

Lưu ý: Cách tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thường gặp

5. Phương pháp tọa độ trong không gian

5.1. Hệ trục tọa độ Oxyz

5.2. Tọa độ vecto

5.3. Tọa độ điểm

5.4. Tích có hướng của hai vectơ

5.5. Phương trình mặt cầu

5.6. Phương trình mặt phẳng

Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

5.7. Phương trình đường thẳng

5.7.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

5.7.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

5.7.3. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

5.7.4 Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng

5.7.4. Góc giữa hai đường thẳng

5.7.5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

6. Hình chiếu và điểm đối xứng

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO'.

a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.

Lời giải:

a. Do trục OO’= 2r nên chiều cao của khối trụ là h = 2r.

Mặt cầu có đường kính là OO’= 2r nên bán kính của mặt cầu là: R = r

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Δ lấy điểm S sao cho OS = a/2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.

b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

Lời giải:

a. Từ A vẽ AH ⊥ (BCD)

Xét ba tam giác ABH, ACH và ADH có:

AB= AC = AD ( vì ABCD là tứ diện đều).

AH chung

=> ∆ ABH = ∆ ACH =∆ ADH ( ch- cgv)

Suy ra,HB = HC = HD . Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Do tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời là trọng tâm tam giác BCD

Gọi M là trung điểm CD. Ta có;

+ xét tam giác AHB vuông tại H có:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Thể tích của khối trụ là;

Bài 2: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng (α): x + 3y – z – 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua (α).

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(α).

Suy ra: MH ⊥ mp(α).

Do đó, đường thẳng MH có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{MH}}=\overrightarrow{n_{\alpha }}$ = (1; 3; -1).

Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng MH là;

$\left\{\begin{array}{c}x=2+\text{\hspace{0.17em}}t\\ y=1+\text{\hspace{0.17em}}3t\\ z=-t\end{array}\right.$

Vì điểm H thuộc đường thẳng MH nên tọa độ H(2+ t; 1+ 3t ; – t).

Lại có, điểm H thuộc mp(α) nên:

2 + t + 3(1 + 3t) – (– t) – 27 = 0

⇔ 2 + t + 3 + 9t + t – 27 = 0

⇔ 11t – 22 = 0 nên t = 2.

Suy ra, tọa độ điểm H (4; 7; –2).

Vì M’ đối xứng với M qua mp(α) nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_{M\text{'}}=2x_H-x_M=6\\ y_{M\text{'}}=2y_H-y_M=13\\ z_{M\text{'}}=2z_H-z_M=-4\end{array}\right.$

Vậy tọa độ điểm M’(6; 13; –4).

Bài 3:  Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B'C' và C'D'. Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A'. Tính thể tích của (H).

Lời giải:

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với đường thẳng A’B’ và A’D’.

Q là giao điểm của AM và BB’.

P là giao điểm của AN và DD’.

Ta có: mp(AEF) cắt hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo thiết diện là ngũ giác AQEFP.

* Tam giác D’FN vuông cân tại D’ và D'F = $\frac{a}{2}$ => D'N = $\frac{a}{2}$ => A'N = $\frac{\mathrm{3a}}{2}$

Tương tự; B'M = $\frac{a}{2}$ => A'M = $\frac{\mathrm{3a}}{2}$

Tam giác AA’M có B’Q // AA’ nên:

$\frac{B\text{'}Q}{AA\text{'}}=\frac{MB\text{'}}{M\text{}A\text{'}}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{3a}{2}}=\frac{1}{3}\Rightarrow B\text{'}Q=\frac{A\text{}A\text{'}}{3}=\frac{a}{3}$

Tương tự, PD' = $\frac{a}{3}$

Gọi V = V_{ABCD.A’B’C’D’} = a³

V₁ = V_ABCD.QECFD ; V₂ = V_{AQEFP.B’A’D’}

V₃ = V_A.MA’N; V₄ = V_PFDN; V₅ = V_QMBE

Ta có: V₄ = V₅

$\begin{array}{l}{V}_3=\frac{1}{6}A\text{}A\text{}\text{'}.A\text{'}M.A\text{'}N=\frac{1}{6}.a.\frac{3a}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{3a^3}{8}\\ V_4=\frac{1}{6}PD\text{'}.D\text{'}F.D\text{'}N=\frac{1}{6}.\frac{a}{3}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}=\frac{a^3}{72}\\ V_2=V_3-(V_4+\text{}{V}_5)=V_3-2V_4=\frac{3a^3}{8}-2.\frac{a^3}{72}=\frac{25a^3}{72}\end{array}$

Vậy mp(AEF) chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối đa diện và chứa đỉnh A’ có thể tích là V₂ = V_AQEFP.A'B'D' = $\frac{25a^3}{72}$.

Bài 4: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.

a) Thể tích của khối nón theo r và h.

b) Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất.

Lời giải:

Bài 5  Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.

a)Tính thể tích tứ diện ABCD

b)Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD)

Lời giải:

Bài 7 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao của AC và BD. Tỉ số thể tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng:

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có cùng chiều cao, ta gọi chiều cao đó là h.

Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng:

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Gọi S là diện tích đáy và h là chiều cao của hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

Khi đó, thể tích của hình hộp đã cho là: V = S.h

Ta chia hình hộp đã cho thành 5 khối tứ diện là: B’ABC, AA’B’D’; CB’C’D’; D’ADC và ACB’D’.

Mỗi khối tứ diện B’ABC, AA’B’D’; CB’C’D’; D’ADC có thể tích bằng:

Do đó, thể tích khối tứ diện ACB’D’ là:

Suy ra, tỉ số thể tích của hai khối tứ diện ACB’D’ và ABCD. A’B’C’D’ là:

Bài 9: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là:

Lời giải:

Chọn đáp án D

Vì đây là hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng a nên đáy của hình lăng trụ là tam giác đều và cạnh bên vuông góc với đáy.

⇒ Diện tích đáy của hình lăng trụ là: 

Thể tích của khối lăng trụ cần tính là:

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD bằng:

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Vì công thức tỉ số thể tích chỉ dùng cho hình chóp tam giác, nên ta chia hình chóp tứ giác S.A’B’C’D’ thành hai hình chóp tam giác S.A’B’C’ và S.A’C’D’ và chia hình chóp S.ABCD thành hai hình chóp S.ABC và S.ADC.

Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác:

30 bài tập các bài toán về hình học nâng cao lớp 5 2024 (có đáp án) 

30 Bài tập hình học 8 giữa học kì 1 (2024) có đáp án 

Công thức hình học lớp 6 (2024) chi tiết nhất 

Công thức hình học không gian Oxyz (2024) chi tiết nhất 

Công thức hình học lớp 5 (2024) chi tiết nhất