30 Bài tập về hai vectơ bằng nhau (2024) có đáp án

a) Tìm trong hình hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

b) Tìm trong hình hai vectơ đối nhau và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABD vuông cân tại A, theo định lí Pythagore, ta có: BD² = AD² + AB² = a² + a² = 2a²

Suy ra: BD = $a\sqrt{2}$.

Do đó: AC = BD = $a\sqrt{2}$ (hai đường chéo của hình vuông bằng nhau).

O là tâm của hình vuông ABCD nên O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, đồng thời là trung điểm của mỗi đường.

Do đó: AO = OC = $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$; BO = OD = $\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{OC}$ cùng phương và cùng hướng, hơn nữa $\left|\overrightarrow{AO}\right|=AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $\left|\overrightarrow{OC}\right|=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, nên $\left|\overrightarrow{AO}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|$.

Do đó: $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ và $\left|\overrightarrow{AO}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ngoài ra, có thể tìm được các cặp vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ khác như sau:

+) $\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}$ và $\left|\overrightarrow{CO}\right|=\left|\overrightarrow{OA}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

+) $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$ và $\left|\overrightarrow{DO}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

+) $\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}$ và $\left|\overrightarrow{BO}\right|=\left|\overrightarrow{OD}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

b) Trong hình đã cho chỉ có hai cạnh AC và BD là bằng nhau và bằng $a\sqrt{2}$. Tuy nhiên hai cạnh này cắt nhau nên hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ không cùng phương nên chúng không đối nhau.

Vậy không có hai vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 12:

Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau:

a) $\overrightarrow{u}=\left(2a-1;-3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(3;4b+1\right)$ ;

b) $\overrightarrow{x}=\left(a+b;-2a+3b\right)$ và $\overrightarrow{y}=\left(2a-3;4b\right)$ .

Hướng dẫn giải:

Hai vectơ bằng nhau khi hoành độ của vectơ này bằng hoành độ của vectơ kia và tung độ của vectơ này bằng tung độ của vectơ kia.

Từ (1) và (2) ta được: a – 3 = – 2a ⇔ a + 2a = 3 ⇔ 3a = 3 ⇔ a = 1.

Thay vào (1) ta được: b = 1 – 3 = – 2.

Vậy a = 1 và b = – 2.

Xem thêm các dạng bài tập hay, có đáp án: