30 bài tập về bất phương trình (2024) có đáp án

1900.edu.vn xin giới thiệu bài viết gồm bài tập và phương pháp giải Toán: bài ập về bất phương trình hay, chi tiết cùng với bài tập chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8. Mời các bạn đón xem.

Bài tập về bất phương trình

I. LÝ THUYẾT

1. Bất phương trình một ẩn

– bất phương trình một ẩn là kiểu bất phương trình có dạng f(x) > g(x) ( hoặc f(x) < g(x); f(x) ≥ g(x); f(x) ≤ g(x)), trong đó f(x) và g(x) được gọi là hai biểu thức của biến x.

– Cho số $x_{0}$ được gọi là nghiệm của bất phương trình f(x) < g(x). Nếu thay x0 vào bất phương trình thì ta được f( $x_{0}$ ) < g( $x_{0}$ ) là một khẳng định đúng. Khi giải bất phương trình ta tìm được tất cả các nghiệm hay còn gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.

– Hai bất phương trình khi có chung tập nghiệm thì được gọi là hai bất phương trình tương đương nhau.

– Phép biến đổi tương đương xảy ra khi biến một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương.

Một số quy tắc biến đổi phương trình tương đương thường dùng tới là:

– Chuyển vế : f(x) + h(x) > g(x) ⇔ f(x) > g(x) – h(x)

– Nhân (chia ) :

+ f(x) > g(x) ⇔ f(x) .h(x) > g(x).h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x

+ f(x) > g(x) ⇔ f(x) .h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) < 0 với mọi x

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn:

– Bất phương trình một ẩn là kiểu bất phương trình mà có dạng là ax + b > 0 ( hoặc ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0) trong đó số a, số b là các số cho trước và a ≠ 0.

– Giải bất phương trình ax + b > 0 (1)

Ta có (1) ⇔ ax > -b

+ Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x > -b/a.

3. Bất phương bậc hai một ẩn:

– Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax² + bx + c < 0 (hoặc ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c ≥ 0)

Trong đó, x được gọi là ẩn; a, b, c là những số thực với a ≠ 0.

– Giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax² + bx + c < 0 cùng dấu với hệ số a (trong trường hợp a < 0) hoặc trái dấu với hệ số a (trong trường hợp a > 0)

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: 3x² + 2x + 5 > 0

Đặt f(x) = 3x² + 2x + 5, ta có f(x) > 0 và a = 3 > 0, vậy nên f(x) luôn dương

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S = (-∞, +∞)

Ví dụ 2: f(x) = -2x² + 3x + 5, ta có a = -2 < 0 và f(x) = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 5/2

cach-giai-bat-phuong-trinh-7

Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-1;5/2)

4. Tập nghiệm của bất phương trình:

– Số x = 0 gọi là nghiệm của một bất phương trình nào đó nếu ta thay x = 0 vào bất phương trình và kết quả ta được là một bất đẳng thức đúng.

+ Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình đó. Khi ta có đề bài là giải bất phương trình thì có nghĩa là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

+Hai bất phương trình được cho là tương đương nhau khi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.

Ví dụ:

+ Hình 1a biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > 2

cach-giai-bat-phuong-trinh-1

+ Hình 1b biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≤ 4

cach-giai-bat-phuong-trinh-2

5. Những quy tắc cần nhớ

Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển vế một hạng tử trong một bất phương trình từ vế bên này sang vế bên kia thì ta phải đổi dấu hạng tử đó.

Quy tắc nhân với một số:

Khi nhân hai vế của một bất phương trình với cùng một số khác số không, ta phải:

+ Nếu số đó là số dương thì ta giữ nguyên chiều của bất phương trình.

+ Nếu số đó là số âm thì ta phải đổi chiều của bất phương trình.

6. Các dạng toán và phương pháp giải bất phương trình

Dạng 1: Xác định nghiệm hoặc tập nghiệm của một bất phương trình và biểu diễn nghiệm hoặc tập nghiệm đó trên trục số:

Phương pháp:

Ta sử dụng các quy tắc sau:

* Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển vế một hạng tử trong một bất phương trình từ vế bên này sang vế bên kia thì ta phải đổi dấu hạng tử đó.

* Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một bất phương trình với cùng một số khác số không, ta phải:

+ Nếu số đó là số dương thì ta giữ nguyên chiều của bất phương trình.

+ Nếu số đó là số âm thì ta phải đổi chiều của bất phương trình.

Ngoài ra, ta còn có thể sử dụng hằng đẳng thức hoặc quy đồng mẫu số để biến đổi bất phương trình.

Dạng 2: Xác định hai bất phương trình tương đương:

Phương pháp:

Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình được cho là tương đương nhau khi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.

Dạng 3: Giải bất phương trình bậc hai.

Phương pháp:

– Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng một vế là tam thức bậc hai, một vế bằng 0

– Bước 2: Xét dấu vế trái của tam thức bậc hai và kết luận nghiệm.

Dạng 4: Giải bất phương trình tích.

Phương pháp:

– Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

– Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Dạng 5: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp:

– Bước 1: Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

– Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Chú ý: Cần chú ý điều kiện xác định của bất phương trình.

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng

Phương pháp:

– Sử dụng một số tính chất: Bình phương, căn bậc hai, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm.

Dạng 7: Giải hệ bất phương trình bậc hai

Phương pháp:

– Bước 1: Giải từng bất phương trình có trong hệ.

– Bước 2: Kết hợp nghiệm và kết luận.