40 Bài tập xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng (2024) có đáp án

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng

Lý thuyết tổng hợp

- Định nghĩa vectơ chỉ phương: Vectơ $\overrightarrow{u}$ ($\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$) là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$.

- Chú ý:

+ Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$ thì k$\overrightarrow{u}$ ($k\ne 0$)  cũng là vectơ chỉ phương của$∆$.

+ Nếu đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$ , $\overrightarrow{u\text{'}}=(-b;a)$

Các công thức

- Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm A và B có: $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ phương của 

- Cho $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$$\Rightarrow$  k$\overrightarrow{u}$ ($k\ne 0$)  là vectơ chỉ phương của .

- Cho đường thẳng $\Delta$ : $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\end{array}\right.\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của $∆$ là $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$

- Cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$ , $\overrightarrow{u\text{'}}=(-b;a)$

- Cho đường thẳng d  và d’. Biết $d\perp d\text{'}$: Nếu d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(a;b)$

- Cho đường thẳng d và d’. Biết d // d’ : Nếu d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(-b;a),\overrightarrow{u}=(b;-a)$

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-2-5t\end{array}\right.$. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$ là vectơ chỉ phương của d.

Ta có d: $\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-2-5t\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_2=-5\end{array}\right.$ 

Vậy vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(3;-5)$

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(4; 5). Xác định 3 vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Do đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(4; 5) nên ta có:

$\overrightarrow{AB}$= (4 – 1; 5 – 3) = (3; 2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

k$\overrightarrow{AB}$ ($k\ne 0$) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Chọn k = 2, ta có vectơ chỉ phương : $\overrightarrow{u_2}=2\overrightarrow{AB}=(6;4)$

Chọn k = 3, ta có vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{u_3}=3\overrightarrow{AB}=(9;6)$

Bài 3: Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (1; 2). Tìm 2 vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (1; 2) 

$\Rightarrow$Vectơ chỉ phương $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$= (2; -1)  và $\overrightarrow{u}=(-2;1)$

Bài 4: Cho hai đường thẳng d và d’. Tìm vectơ chỉ phương của d. Biết $d\perp d\text{'}$ và vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(1;5)$.

Lời giải:

Do $d\perp d\text{'}$ và vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(1;5)$ nên ta có:

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(1;5)$

Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d  là:

A. u₁→ = (2; -3)    B. u₂→ = (3; -1)    C. u₃→ = (3; 1)    D. u₄→ = (3; -3)

Lời giải

Một VTCP của đường thẳng d là u→( 3; -1)

Chọn B

Bài 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 2) và B( 1; 4) ?

A. u₁→ = (-1; 2)    B. u₂→ = (2; 1)    C. u₃→ = (- 2; 6)    D. u₄→ = (1; 1)

Lời giải

+ Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto AB→( 4; 2) làm vecto chỉ phương .

+ Lại có vecto AB→ và u→( 2;1) là hai vecto cùng phương nên đường thẳng AB nhận vecto u→( 2;1) là VTCP.

Chọn B.

Bài 3: Vectơ chỉ phương của đường thẳng  = 1 là:

A. u₄→ = (-2; 3)    B. u₂→ = (3; -2)    C. u₃→ = (3; 2)    D. u₁→ = (2; 3)

Hướng dẫn giải:

Ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng tổng quát:

 = 1 ⇔ 2x + 3y - 6 = 0 nên đường thẳng có VTPT là n→ = (2; 3)

Suy ra VTCP là u→ = (3; - 2) .

Chọn B.

Bài 4: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x - 5y - 100 = 0 là :

A. u→ = (2; -5)    B. u→ = (2; 5)    C. u→ = (5; 2)    D. u→=( -5; 2)

Lời giải

Đường thẳng d có VTPT là n→( 2 ;- 5) .

⇒ đường thẳng có VTCP là u→( 5 ; 2).

Chọn C.

Bài 5 : Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(2 ; 3) và B( 4 ;1)

A. n→ = (2; -2)    B. n→ = (2; -1)    C. n→ = (1; 1)    D. n→ = (1; -2)

Lời giải

Đường thẳng AB nhận vecto AB→( 2; -2) làm VTCP nên đường thẳng d nhận vecto

n→( 1; 1) làm VTPT.

Chọn C.

Bài 6. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox

A. u₁→ = (1; 0).    B. u₂→ = (0; -1)    C. u₃→ = (1; 1)    D. u₄→ = (1; - 1)

Lời giải

Trục Ox có phương trình là y= 0; đường thẳng này có VTPT n→( 0;1)

⇒ đường thẳng này nhận vecto u→( 1; 0) làm VTCP.

⇒ một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP là u₁→=(1; 0).

Chọn A.

Bài 7: Cho đường thẳng d đi qua A( 1; 2) và điểm B(2; m) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( 1; 3) làm VTCP?

A. m = - 2    B. m = -1    C. m = 5    D. m = 2

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( 1; m - 2) làm VTCP.

Lại có vecto u→( 1; 2) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và AB→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

⇒ 

Vậy m= 5 là giá trị cần tìm .

Chọn C.

Bài 8: Cho đường thẳng d đi qua A(- 2; 3) và điểm B(2; m + 1) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( 2; 4) làm VTCP?

A. m = - 2    B. m = -8    C. m = 5    D. m = 10

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( 4; m - 2) làm VTCP.

Lại có vecto u→(2; 4) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và ab→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

Vậy m = 10 là giá trị cần tìm .

Chọn D.

Bài 9. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A( a; 0) và B( 0; b)

A. u→( -a; b)    B. u→( a; b)    C. u→( a + b; 0)    D. u→( - a; - b)

Lời giải

Đường thẳng AB đi qua điểm A và B nên đường thẳng này nhận AB→(-a;b) làm vecto chỉ phương.

Chọn A.

Bài 10 . Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là u→ = (-2; -5) . Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ chỉ phương là:

A. u₁→ = (5; -2)    B. u₂→ = (-5; 2)    C. u₃→ = (2; 5)    D. u₄→ = (2; -5)

Lời giải

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia nên :

Lại có hai vecto u_∆→( -2; -5) và u→( 2;5) cùng phương nên đường thẳng ∆ nhận vecto u→( 2; 5) làm VTCP.

Chọn C.

Bài 11. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3; -4). Đường thẳng ∆ song song với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (4; 3)    B. n₂→ = (- 4; 3)    C. n₃→ = (3; 4)    D. n₄→ = (3; - 4)

Lời giải

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP ( VTPT) của đường thẳng này cũng là VTCP (VTPT) của đường thẳng kia nên:

 → u_∆→ = u_d→ = (3; -4) → n_∆→ = (4; 3)

Chọn A

Bài tập tự luyện

1. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đường thẳng d’ trong các trường hợp sau. Tìm vectơ chỉ phương của d’ trong các trường hợp đó.

a) d’ đi qua điểm A(0; 1) và B(2; 7).

b) d’ trùng với trục hoành.

Bài 2: Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là  $\overrightarrow{n}$= (-3; 4). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục $Ox?$

A. $\overrightarrow{u_1}=\left(\text{1};0\right)$.     B. $\overrightarrow{u_2}=\left(0;-\text{1}\right).$        C. $\overrightarrow{u_3}=\left(-\text{1};1\right).$        D. $\overrightarrow{u_4}=\left(\text{1};\text{1}\right).$

Câu 2. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục $Oy?$

A. $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-1\right).$     B. $\overrightarrow{u_2}=\left(0;1\right).$          C. $\overrightarrow{u_3}=\left(1;0\right).$          D. $\overrightarrow{u_4}=\left(1;1\right).$

Câu 3. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(-3;2\right)$ và $B\left(1;4\right)?$

A. $\overrightarrow{u_1}=\left(-1;2\right).$  B. $\overrightarrow{u_2}=\left(2;1\right).$          C. $\overrightarrow{u_3}=\left(-2;6\right).$       D. $\overrightarrow{u_4}=\left(1;1\right).$

Câu 4. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ và điểm $M\left(a;b\right)?$

    A. $\overrightarrow{u_1}=\left(0;a+b\right).$  B. $\overrightarrow{u_2}=\left(a;b\right).$         C. $\overrightarrow{u_3}=\left(a;-b\right).$       D. $\overrightarrow{u_4}=\left(-a;b\right).$

Câu 5. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d x = 2+3t và y = -3-t là:

A.  = (2; -3)

B.  = (3; -1)

C.  = (3; 1)

D.  = (3; -3)

Câu 6: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 2) và B (1; 4)?

A.  = (-1; 2)

B.  = (2; 1)

C.  = (- 2; 6)

D.  = (1; 1)

Câu 7: Vectơ chỉ phương của đường thẳng x = 2+3t và y = -3-t = 1 là:

A.  = (-2; 3)

B.  = (3; -2)

C.  = (3; 2)

D.  = (2; 3)

Câu 8: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x - 5y - 100 = 0 là:

A.  = (2; -5)

B.  = (2; 5)

C.  = (5; 2)

D. =( -5; 2)

Câu 9: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(2 ; 3) và B( 4 ;1)

A.  = (2; -2)

B.  = (2; -1)

C.  = (1; 1)

D.  = (1; -2)

Câu 10: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox

A.  = (1; 0).

B.  = (0; -1)

C.  = (1; 1)

D.  = (1; - 1)

Câu 11: Cho đường thẳng d đi qua A( 1; 2) và điểm B(2; m). Tìm m để đường thẳng d nhận   (1; 3) làm VTCP?

A. m = - 2

B. m = -1

C. m = 5

D. m = 2

Câu 12: Cho đường thẳng d đi qua A(- 2; 3) và điểm B(2; m + 1) . Tìm m để đường thẳng d nhận ( 2; 4) làm VTCP?

A. m = - 2

B. m = -8

C. m = 5

D. m = 10

Câu 13: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A( a; 0) và B( 0; b)

A.  ( -a; b)

B. ( a; b)

C.( a + b; 0)

D. ( - a; - b)

Xem thêm tổng hợp các dạng Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

90 Bài tập tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án năm 2023) - Toán 10

80 Bài tập về vectơ trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2023) - Toán 10

80 Bài tập về Tích vô hướng của một vectơ với một số (có đáp án năm 2023) - Toán 10

80 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án năm 2023) - Toán 10

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng (2024) hay, chi tiết nhất - Toán lớp 10