Bài tập về bài toán liên quan hypebol

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa đường hypebol

Trong toán học, đườngn hypebol hay hypebol là một kiểu đường cô-nic, được định nghĩa là đường giao của một mặt nón với một mặt phẳng cắt cả hai nửa của hình tròn.

Đường hypebol được định nghĩa là quỹ tích của tập hợp các điểm trong mặt phẳng có giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định là một hằng số giá trị bằng 2a (a bằng độ dài bán trục lớn của đường hypebol). Hai điểm cố định trên gọi là hai tiêu điểm của đường hypebol. Đường thẳng đi qua hai tiêu điểm này chính là đường trục thực của đường hypebol; trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm này được gọi là tâm của hình hypebol.

Cho hai điểm cố định $F_1, F_2$với $F_1{F}_2$ = 2c (c>0) và hằng số aMF1-MF2 =2a kí hiệu là (H)

Gọi $F_1 và F_2$ là tiêu điểm của đường (H). Khoảng cách $F_1{F}_2 = 2c$ là tiêu cự của (H).

2. Phương trình chính tắc đường hypebol

Với  $F_1(-c;0), F_2(c;0)$

$M(x;y) \in \left(H\right) \iff x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 với b^2= c^2-a^2 \left(2\right)$

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

3. Hình dạng và tính chất của đường hypebol

Đường hypebol có những đặc điểm sau đây:

+ 2 tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 (-c;0), tiêu điểm phải F2 (c;0)

+ Các đỉnh của đường hypebol: A1(-a;0), A2(a;0)

+ Trục Ox là trục thực, trục Oy là trục ảo, Khoảng cách 2a giữa 2 đỉnh đường hypebol gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo. 

+ Đường cong hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của hypebol

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng $x = \pm a, y = \pm b$ gọi là hình chữ nhật cơ sở. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệm cận của hypebol và có phương trình là $y=\pm ba$

+ Tâm sai đường hypebol: $c=\frac{c}{a}>1$

+ $M(x_m; y_m)$ thuộc (H) thì $M{F}_1=\left|a+e{x}_M\right|=\left|a+\frac{c}{a}{x}_M\right|, M{F}_2=\left|a-e{x}_M\right|=\left|a-\frac{c}{a}{x}_M\right|$

II. Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$. Tính bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 12.

Lời giải:

Có a² = 9, b² = 7 $\Rightarrow a=3,c=\sqrt{a^2+b^2}$$=\sqrt{9+7}=4.$

Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:

Ví dụ 2.  Một hypebol mà độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo được gọi là hypebol vuông. Tìm tâm sai và phương trình hai đường tiệm cận của hypebol vuông.

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của một hypebol vuông là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Vì độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo nên a = b $\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow$ Tâm sai e = $\frac{c}{a}=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}.$

Phương trình hai đường tiệm cận là: $y=-\frac{b}{a}x\iff y=-x$ và $y=\frac{b}{a}x\iff y=x.$

III. Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

a) Hãy giải thích vì sao nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc hypebol (H.3.12).

b) Tìm toạ độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?

c) Với điểm M(x0; y0) thuộc hypebol, hãy so sánh |x0| với a.

Lời giải:

a) Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$ nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

b)

+) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.

Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (x_A; 0)

Mà A thuộc hypebol nên $\frac{x_{{}_A}^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_A^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_A=a\\ x_A=-a\end{array}\right..$

Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A₁(–a; 0) và A₂(a; 0).

+) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.

Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; y_B).

Mà B thuộc hypebol nên $\frac{0^2}{a^2}-\frac{y_{{}_B}^2}{b^2}=1\Rightarrow -\frac{y_{{}_B}^2}{b^2}=1$ (vô lí).

Vậy hypebol không cắt trục tung.

c) M(x₀; y₀) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Vì $\frac{y_0^2}{b^2}\ge 0$ nên $\frac{x_0^2}{a^2}\le 1\Rightarrow x_0^2\le a^2\Rightarrow \left|x_0\right|\le a.$

Câu 2. Cho hypebol $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$.

a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục.

b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.

Lời giải:

a) Có a2 = 64, b2 = 36

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\mathrm{8,}b=6\\ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+36}=10\end{array}\right..$

Do đó, tiêu cự của hypebol là 2c = 20, độ dài trục thực là 2a = 16, độ dài trục ảo là 2b = 12.

b) Các đỉnh của hypebol là A1(–8; 0), A2(8; 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là $y=-\frac{b}{a}x=-\frac{6}{8}x=-\frac{3}{4}x$và $y=\frac{b}{a}x=\frac{6}{8}x=\frac{3}{4}x.$

Câu 3. Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6 Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.

Lời giải:

Hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6$\sqrt{3}\Rightarrow$ 2a = 6, 2b = 6$\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ a = 3, b = 3$\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}=6.$

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF₁ $=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=\left|3+\frac{6}{3}.9\right|=21.$

MF₂ $=\left|a-\frac{c}{a}x\right|=\left|3-\frac{6}{3}.9\right|=15.$

Câu 4. Cho hypebol  với hai tiêu điểm F₁(–2; 0), F₂(2; 0). Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính tiêu MF₂ nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm.

Lời giải:

Có a² = 1, b² = 3 $\Rightarrow a=\mathrm{1,}b=\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=2.$

Gọi (x; y) là toạ độ của M.

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF₂ $=\left|a-\frac{c}{a}x\right|=\left|1-\frac{2}{1}.x\right|=\left|1-2x\right|.$

Nếu M thuộc nhánh bên trái thì x ≤ –a = –1. Khi đó 1 – 2x ≥ 1 – 2(–1) = 3.

Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 3.

Nếu M thuộc nhánh bên phải thì x ≥ a = 1. Khi đó 1 – 2x ≤ 1 – 2.1 = –1.

Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 1.

Vậy MF₂ nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1.

Khi đó MF₁ $=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=\left|1+\frac{2}{1}.1\right|=3.$

Câu 5. Cho hypebol có phương trình chính tắc  với các tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0). Xét các đường thẳng  và  (H.3.14). Với điểm M(x; y) thuộc hypebol, tính các tỉ số  và  theo a và c.

Lời giải:

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng: $x+0y+\frac{a^2}{c}=0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{\left|x+0y+\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left|x+\frac{a^2}{c}\right|.$

suy ra $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=\frac{\left|a+\frac{c}{a}x\right|}{\left|x+\frac{a^2}{c}\right|}=\frac{\left|\frac{a^2+cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc+a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng: $x+0y-\frac{a^2}{c}=0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|x+0y-\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left|x-\frac{a^2}{c}\right|.$

suy ra $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}=\frac{\left|a-\frac{c}{a}x\right|}{\left|x-\frac{a^2}{c}\right|}=\frac{\left|\frac{a^2-cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc-a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

Câu 6. Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là 3.108 km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 (H.3.15).

Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 108 km trên thực tế.

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của hypebol.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Theo đề bài, ta có:

– Khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là 3.10⁸ km $\Rightarrow$ c – a = 3.

– Tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6

$\Rightarrow$ $\frac{c}{a}=\mathrm{3,6}\Rightarrow \frac{a+3}{3}=\mathrm{3,6}\Rightarrow$ a = 7,8 $\Rightarrow$ a² = 60,84

$\Rightarrow$ c = 10,8 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 10,8² – 7,8² = 55,8.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{\mathrm{60,84}}-\frac{y^2}{\mathrm{55,8}}=1.$

Câu 7. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc . Xác định toạ độ các đỉnh, độ dài các trục, tâm sai và phương trình các đường chuẩn của hypebol.

Lời giải:

Có a2 = 9, b2 = 4 $\Rightarrow$ a = 3, b = 2, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.$

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A1(–3; 0), A2(3; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 6, độ dài trục ảo là 2b = 4.

Tâm sai e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{3}.$

Phương trình các đường chuẩn của hypebol là: ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}\iff x=-\frac{9}{\sqrt{13}},$ ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}\iff x=\frac{9}{\sqrt{13}}.$

Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc . Tính bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 12.

Lời giải:

Có a2 = 9, b2 = 7 $\Rightarrow a=\mathrm{3,}c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+7}=4.$

Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:

$M{F}_1=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=\left|3+\frac{4}{3}.12\right|=19.$

$M{F}_2=\left|a-\frac{c}{a}x\right|=\left|3-\frac{4}{3}.12\right|=13.$

Câu 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Lời giải:

Xét hypebol có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là: d1 : $y=-\frac{b}{a}x$ hay bx + ay = 0 và d2 : $y=\frac{b}{a}x$ hay bx – ay = 0.

Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:

d(M, d1) = $\frac{\left|bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$, d(M, d2) = $\frac{\left|bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$.

$\Rightarrow$ d(M, d1).d(M, d2) = $\frac{\left|bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}.\frac{\left|bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}=\frac{\left|{\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2\right|}{a^2+b^2}$ (*).

Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{x^2{b}^2-a^2{y}^2}{a^2{b}^2}=1$

$\Rightarrow {\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2=a^2{b}^2$

Thay vào (*) ta được: d(M, d1).d(M, d2) = $\frac{\left|a^2{b}^2\right|}{a^2+b^2}=\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}$ (không đổi).

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Câu 10.Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, với a, b > 0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?

A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là $A_1\left(a;0\right)$, $A_1\left(-a;0\right)$;

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là $B_1\left(0;b\right)$, $A_1\left(0;-b\right)$;

C. Với c² = a² + b²(c > 0), độ dài tiêu cự là 2c.

D. Với c² = a² + b²(c > 0), độ dài trục lớn là 2b.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, khi đó:

Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là $A_1\left(a;0\right)$, $A_1\left(-a;0\right)$và tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là $B_1\left(0;b\right)$, $A_1\left(0;-b\right)$. Do đó A đúng, B đúng.

Với c² = a² + b²(c > 0), độ dài tiêu cự là 2c. Do đó C đúng.

Với c² = a² + b²(c > 0), độ dài trục lớn là 2a. Do đó D sai.

Câu 11.Định nghĩa nào sau đây là định nghĩa đường parabol?

A. Cho điểm F cố định và một đường thẳng $∆$ cố định không đi qua F. Parabol (P) là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến $∆$.

B. Cho $F_1,F_2$ cố định với $F_1{F}_2=$ 2c, (c > 0). Parabol (P) là tập hợp điểm M sao cho  với a là một số không đổi và a < c.

C. Cho $F_1,F_2$ cố định với $F_1{F}_2=$ 2c, (c > 0). và một độ dài 2a không đổi (a > c). Parabol (P) là tập hợp các điểm M sao cho $M\in \left(P\right)$$\iff M{F}_1+M{F}_2=2a$.

D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của parabol.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Cho điểm F cố định và một đường thẳng $∆$ cố định không đi qua F. Parabol (P) là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến $∆$.

Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác:

200 Bài tập ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2024) 

30 Bài tập về tâm đường tròn nội tiếp (2024) có đáp án 

30 Bài tập chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác (2024) có đáp án 

30 Bài tập về cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn (2024) có đáp án 

Các dạng bài tập về cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy (2024) có đáp án