Bài tập chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác
I. Lí thuyết / Phương pháp giải
1. Định nghĩa
Trong hình học phẳng, tứ giác ngoại tiếp là tứ giác có các cạnh tiếp xúc với một đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn nội tiếp của tứ giác này.
2. Phương pháp giải
Cách xác định đường tròn ngoại tiếp tứ giác
+ Tứ giác có bốn đỉnh các đều một điểm. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
+ Lưu ý: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB
3. Mở rộng
a. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
+ Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác
+ Trong tam giác vuông, trung điểm của cạnh huyền chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ấy
b. Xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác kẻ từ 3 đỉnh của tam giác
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn khi và chỉ khi AB + CD = AD + BC.
Lời giải:
* Chứng minh chiều thuận: Nếu ABCD ngoại tiếp đường tròn thì AB + CD = AD + BC
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Vẽ OE, OF, OG, OH theo thứ tự vuông góc với AB, BC, CD, AD tại E, F, G, H.
Vì OE vuông góc với AB và (O) tiếp xúc với AB tại E nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Vì OF vuông góc với BC và (O) tiếp xúc với BC tại F nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Hai tiếp tuyến AB và BC cắt nhau tại B do đó BE = BF (tính chất) (1)
Chứng minh tương tự ta được CF = CG; DG = DH; AH = AE (2).
Ta có: AE + EB = AB (3)
BF + CF = BC (4)
CG + GD = CD (5)
AH + DH = AD (6)
Từ (1); (2); (3); (4); (5); (6) suy ra AB+CD=AD+BC
* Chiều ngược lại: Nếu AB + CD = AD + BC thì tứ giác ABCD là tứ giác ngoại tiếp.
- Nếu AB = AD thì CD = CB.
Khi đó giao điểm I của AC với đường phân giác trong của góc B chính là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Ta có điều phải chứng minh.
- Không mất tính tổng quát ta xem AB > AD.
Vì AB + CD = AD + CB nên BC > CD.
Do đó tồn tại các điểm E và F theo thứ tự trên AB, BC sao cho AE = AD, CF = CD.
Ta có: AB + CD = AD + CB
=> AE + BE + CD = AD + CF + FB
=> BE = FB.
Ta có:
Tam giác ADE cân tại A do AD = AE
Tam giác BEF cân tại B do BE = BF
Tam giác CFD cân tại C do CF = CD.
Vì tam giác ADC cân tại A nên đường phân giác góc A cũng là đường trung trực của ED.
Vì tam giác BEF cân tại B nên đường phân giác góc B cũng là đường trung trực của EF.
Vì tam giác CFD cân tại C nên đường phân giác góc C cũng là đường trung trực của FD.
Mà ba điểm E, F, D không thẳng hàng nên E, F, D tạo thành một tam giác.
=> ba đường trung trực của EF, ED, FD đồng quy
Hay ba đường phân giác của ba góc của tứ giác ABCD đồng quy.
Do đó tứ giác ABCD là tứ giác ngoại tiếp.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Lời giải:
+ Gọi I là trung điểm của AH
+ Có HF vuông góc với AF (giả thiết) suy ra tam giác AFH vuông tại F
I là trung điểm của cạnh huyền AH
Suy ra IA = IF = IH (1)
+ Có HE vuông góc với AE (giả thiết) suy ra tam giác AEH vuông tại E
I là trung điểm của cạnh huyền AH
Suy ra IA = IE = IH (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra IA = IF = IH = IE
Hay I cách đều bốn đỉnh A, E, H, F
Suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn có tâm I là trung điểm của AH
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P
a, Chứng minh tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp
b, Chứng minh 4 điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn
c, Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Lời giải:
a, + Có AD là đường cao của tam giác ABC (giả thiết)
+ Có BE là đường cao của tam giác ABC (giả thiết)
+ Xét tứ giác CEHD có:
Mà hai góc ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp
b, + Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC
+ Xét tam giác BEC có: (BE là đường cao của tam giác)
K là trung điểm của đoạn thẳng BC
Suy ra KE = KB = KC (1)
+ Xét tam giác BFC có: (CF là đường cao của tam giác)
K là trung điểm của đoạn thẳng BC
Suy ra KF = KB = KC (2)
+ Từ (1), (2) suy ra KE = KB = KC = KF hay điểm K cách đều 4 điểm F, E, C, B
Suy ra tứ giác FECB nội tiếp đường tròn tâm K là trung điểm của BC
c, + Có FECB nội tiếp đường tròn (góc nội tiếp cùng chắn cung FB)
Lại có CEHD là tứ giác nội tiếp (góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
Suy ra hay EB là tia phân giác của góc FED
+ Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE
Mà BE và CF cắt nhau tại H nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài 2: Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác góc vuông) và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại I và K.
a) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
b) Chứng minh tam giác CKI cân.
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Ba đường cao của tam giác là AF, BE, CD cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH (H thuộc BC). Lấy điểm D sao cho H là trung đểm của BD. Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng AD. Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đuờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Bài 5: Cho ngũ giác đều có cạnh bằng a
a) Tính chu vi và diện tích ngũ giác đều đó.
b) Tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều.
Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp điểm trên AB, CD theo thứ tự là E và F. Chứng minh rằng AC, BD, EF đồng quy.
Bài 7: Tính cạnh hình 12 cạnh đều theo bán kính đường tròn ngoại tiếp hình 12 cạnh đều đó.
Bài 8: Cho đường tròn (O) nội tiếp trong hình thang ABCD (AB // CD) tiếp xúc với cạnh AB tại E với cạnh CD tại F.
a) Chứng minh:
b) Bết AB = a, CB = b (a < b), BE = 2.AE. Tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 9: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O). Trên BC lấy M, trên BA lấy N, trên CA lấy P sao cho B = BN và CM = CP. Chứng minh rằng:
a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn.
c) Tìm vị trí điểm M, N, P sao cho NP nhỏ nhất.
Bài 10: Cho đường (O; R) nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD), với G là tiếp điểm của đyờng tròn (o; R) với các cạnh CD, biết AB = và BC = . Tính tỉ số giữa GD và GC.
Xem thêm các dạng bài tập Toán liên quan khác:
50 Bài tập Hình tròn. Đường tròn. Chu vi hình tròn (có đáp án năm 2024)
50 Bài tập Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp (có đáp án năm 2024)
50 Bài tập Độ dài đường tròn, cung tròn (có đáp án năm 2024) - Toán
60 Bài tập về hình tròn. tâm, bán kính, đường kính của hình tròn (có đáp án năm 2024)
