30 Bài tập về tâm đường tròn nội tiếp (2024) có đáp án

30 Bài tập về tâm đường tròn nội tiếp

I. Phương pháp giải

Để xác định được tâm đường tròn không chỉ tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông mà còn tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều nữa thì các bạn cần ghi nhớ lý thuyết.

Với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác thì giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác, hoặc có thể là hai đường phân giác.

 Cách 1: Gọi D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ lần lượt từ A,B,C

+ Bước 1: Tính độ dài các cạnh của tam giác

+ Bước 2: Tính tỉ số k của tam giác.

+ Bước 3: Tìm tọa độ các điểm D, E và F

+ Bước 4: Viết phương trình đường thẳng giữa AD và BE

+ Bước 5: Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của AD và BE

Cách 2: Gọi tọa độ tâm đường tròn nội tiếp △ABC đã cho là I(x, y):

Bước 1: Các bạn hãy tính độ dài các cạnh của △ABC.

Bước 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I(x, y) theo công thức sau: 

Sau đó, giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác cần tìm.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho một đường tròn bán kính r nội tiếp trong tam giác vuông cân ABC vuông cân tại A và một đường tròn bán kính R ngoại tiếp tam giác ấy. Tính $\frac{R}{r}$.

Lời giải:

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giả sử tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông AB = AC = a

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\iff a^2+a^2=B{C}^2$

$\iff B{C}^2=2a^2$

$\Rightarrow BC=\sqrt{2}a$

Vì ABC là tam giác vuông tại A do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền (định lí)

Do đó O là trung điểm của BC

$\Rightarrow R=OB=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{2}a}{2}$

Vì ABC là tam giác vuông cân tại A do đó AO là đường trung tuyến cũng là đường phân giác, đường cao của tam giác ABC

$\Rightarrow$A, I, O thẳng hàng và $AO\perp BC$

Ta có AO = $\frac{\sqrt{2}a}{2}$ (do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Xét tam giác AOC có:

CI là đường phân giác của $\widehat{C}$ và CI cắt AO tại I nên ta có:

$\frac{CA}{CO}=\frac{AI}{OI}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác)

$\iff \frac{a}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}=\frac{AI}{OI}$

$\iff \frac{AI}{OI}=\sqrt{2}$

$\iff AI=\sqrt{2}OI$

Mà $AI+OI=AO$

$\Rightarrow \sqrt{2}OI+OI=\frac{\sqrt{2}a}{2}$

$\iff OI\left(\sqrt{2}+1\right)=\frac{\sqrt{2}a}{2}$

$\iff OI=\frac{2-\sqrt{2}}{2}a$

Vậy r = $\frac{2-\sqrt{2}}{2}a$

$\Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}a}=1+\sqrt{2}$.

Bài 2: Cho đờng tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA và

Mb với đường tròn (O). Qua M kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm O cắt đường tròn tại hai điểm C và

D sao cho C nằm giữa M và D. Gọi I là trung điểm của dây CD. Khi đó MAOIB có là ngũ giác nội tiếp

hay không? Nếu có hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O), A là tiếp điểm nên MA vuông góc với OA.

$\Rightarrow \widehat{MAO}=90°$

Vì MB là tiếp tuyến của đường tròn (O), B là tiếp điểm nên MB vuông góc với OB.

$\Rightarrow \widehat{MBO}=90°$

Vì I là trung điểm của CD nên OI vuông góc với CD (tính chất)

$\Rightarrow \widehat{MOI}=90°$

Gọi trung điểm của MO là E.

Tam giác OAM vuông tại A với E là trung điểm của MO

$\Rightarrow OE=EM=AE=\frac{1}{2}MO$ (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)   (1)

Tam giác OBM vuông tại B với E là trung điểm của MO

$\Rightarrow OE=EM=BE=\frac{1}{2}MO$ (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)   (2)

Tam giác OIM vuông tại I có E là trung điểm của MO

$\Rightarrow OE=ME=IE=\frac{1}{2}MO$ (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)   (3)

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow OE=EM=IE=AE=BE=\frac{1}{2}MO$

Hay 5 điểm A, B, M, I, O cách đều điểm E.

Hay ngũ giác AOIBM nội tiếp đường tròn (E; OE) với E là trung điểm của MO.

Bài 3:

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).

Hướng dẫn giải

a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau.

Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).

c) Vẽ OH ⊥ BC.

⇒ OH là khoảng cách từ tâm O đến BC

Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)

⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến:

=> OH = 1/2 BC = BH

Xét tam giác vuông OHB có:

Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trungđiểm của mỗi cạnh.

Bài 4:

Cho hình vuông sau,

Nhận xét nào sau đây đúng?

A. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn lớn hơn bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.

B. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn bằng bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.

C. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn nhỏ hơn bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.

D. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn bằng một nửa bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.

Đáp án A

Hướng dẫn giải:

Xét hình vuông ABCD có tâm O, kẻ OM ⊥ CD (M ∈ CD)

Lúc đó OD là bán kính đường tròn ngoại tiếp,

OM là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

ΔOMD vuông tại M nên OD ≥ OM (1)

Nếu OD = OM thì khi đó đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp là hai đường tròn có chung tâm O và độ dài hai bán kính bằng nhau nên chúng trùng nhau.

Lúc đó không tồn tại hình vuông vừa có đỉnh trên đường tròn (O) vừa có cạnh tiếp xúc với đường tròn (O)

Do đó OD ≠ OM kết hợp với (1) ta có OD > OM (đpcm).

Bài 5:

Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.

Đặt R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lục giác.

Viết biểu thức liên hệ giữa R và r

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Bài 6:

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm I của đương tròn nội tiếp tam giác ABC .

Giải:

Ta có 

Do đó:

Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(1;0)

Bài 7.

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).

Vẽ hình minh họa.

Lời giải:

a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).

c) Vẽ OH ⊥ BC.

⇒ OH là khoảng cách từ từ tâm O đến BC

Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)

⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến ⇒ OH = 1/2 BC=BH

Xét tam giác vuông OHB có: r2 + r2 = OB2 = 22 ⇒ 2r2 = 4 ⇒ r2 = 2 ⇒ r = √2(cm)

Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.

Bài 8:

Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.

Đặt R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lục giác.

Viết biểu thức liên hệ giữa R và r

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Lục giác đều ABCDEF nên chia đường tròn ngoại tiếp thành 6 cung bằng nhau,

suy ra:

Tam giác AOF cân tại O có:

 Vẽ đường cao AH của ΔAOF

Khi đó: OH = r, AH = R/ 2

Xem thêm các dạng bài tập hay, có đáp án:

150 Bài tập phương trình đường thẳng (2024) có đáp án

200 Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (có đáp án năm 2024)

250 Bài tập đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2024)

90 Bài tập về Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách (2024) có đáp án

100 Bài tập về Phương trình quy về phương trình bậc hai (có đáp án năm 2024)