Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm .
- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x0) với mọi và thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0 .
- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) > f (x0) với mọi và thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0 .
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm xo. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì f‘(xo) = 0.
Lưu ý:
- Đạo hàm f‘(x) có thể bằng 0 tại điểm xo nhưng hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm xo.
- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
- Hàm số đạt cực trị tại xo và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (xo ; f(xo)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.
Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x3
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = ( x0 -h: x0 +h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên , với h >0 .
- Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và trên thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) .
- Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f '(x) > 0 trên thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) .
Minh họa bằng bảng biến thiến
Lưu ý:
- Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ⊂ ℝ). Nếu f’(x) không đổi dấu thì hàm số không có cực trị.
(Nhấn mạnh: xo ∈ (a; b)⊂ D nghĩa là xo là một điểm nằm ở giữa trong của D).
Ví dụ: Hàm số xác định trên D= [0,+∞). Ta có y ≥ y (0) với mọi x, nhưng x = 0 không phải là cực tiểu của hàm số vì D không chứa bất kì 1 lân cận nào của điểm 0.
- Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f CĐ ( fCT ), còn điểm M (x0;f( x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
- Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
- Giá trị cực đại (cực tiểu) f(xo) nói chung không phải là GTLN (GTNN) của f(x) trên tập hợp D.
- Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D. Hàm số cũng có thể không có điểm cực trị.
- xo là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm (xo ; f(xo)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) .
4. Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm xo ; f ‘(xo) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo
a) Nếu f ”(xo) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo
b) Nếu f ”(xo) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo
Lưu ý:
- Không cần xét hàm số f(x) có hay không có đạo hàm tại điểm x = xo nhưng không thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục tại điểm xo.
Các dạng bài tập về cực trị của hàm số
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số đó
Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số khi biết y, y’
Dạng 3. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0
Dạng 4. Tìm m để hàm số có n cực trị
Dạng 5. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Dạng 6. Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Dạng 7. Tam giác cực trị
Dạng 8. Bài toán cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối
Dạng 9. Tìm cực trị của hàm số f(u) khi biết bảng biến thiên, đồ thị f’(x)
Bài tập tự luyện
1 Bài tập vận dụng
Bài 1. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x4 – 2x3 + x2 – 8;
b)
Lời giải:
a) TXĐ: D = .
Ta có: y’ = 4x3 – 6x2 + 2x
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và x = 1; fCT = f(0) = f(1) = – 8
Hàm số đạt cực đại tại
b)
TXĐ: D = R\{– 4}.
Phương trình y’ = 0 vô nghiệm nên hàm số không có cực trị.
Bài 2. Tìm cực trị của hàm số .
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x
Ta có: f’(x) = 4x3 – 4x
Ta có: f”(x) = 12x2 – 4
Suy ra: f”(0) = – 4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại.
f”(1) = f”(– 1) = 8 > 0 nên x = 1 và x = –1 là điểm cực tiểu.
Kết luận:
Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 1 và x = – 1; fCT = f(1) = f(–1) = 9.
Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0 và fCD = f(0) = 10.
Bài 3. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x4 – 4x2 + 2;
b) y = x5 – 2x3 + x + 1;
c)
Lời giải:
a) y = 2x4 – 4x2 + 2
TXĐ: D = R.
Ta có: y’ = 8x3 – 8x.
Đạo hàm cấp hai: y” (x) = 24x2 – 8
Vì y”(– 1) = 16 > 0; y”(1) = 16 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1; x = 1 và yCT = y(1) = y(– 1) = 0.
và y” (0) = –8 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCD = y(0) = 2.
b) y = x5 – 2x3 + x + 1
TXĐ: D = R.
Ta có: y’ = 5x4 – 6x2 + 1
Đạo hàm cấp hai: y” = 20x3 – 12x
Và y”(1) = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
y”(– 1) = – 8 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = – 1.
nên hàm số đạt cực đại tại
nên hàm số đạt cực tiểu tại
Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
y”(1) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = 3.
Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – mx2 + (2m – 3).x – 3 đạt cực đại tại x = 1.
Lời giải:
TXĐ: D = R.
Và y’ = 3x2 – 2mx + 2m – 3;
y” (x) = 6x – 2m
Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1 thì:
Vậy để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1 thì m > 3.
Bài 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - 2x2 +mx + 1 đạt cực đại tại x = 1.
Lời giải:
Ta có y' = 3x2 - 4x + m
Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì y'(1) = 0 ⇒ 3.12 - 4.1 + m = 0 ⇒ m = 1
Với m = 1 thì hàm số đã cho trở thành y = x3 - 2x2 + x + 1
Ta có y' = 3x2 - 4x + 1, y'' = 6x - 4 Vì y''(1) = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Do vậy không có m thỏa mãn.
Chú ý. Sai lầm có thể gặp phải: khi giải y'(1) = 0 => m = 1 đã vội kết luận mà không kiểm tra lại, dẫn đến chọn đáp án B.
Bài 6 Cho hàm số y = x3 - 2x2 + 3. Điểm M(0; 3) là?
Lời giải:
Ta có: y' = 3x2 -4x; y'' = 6x - 4;
y''(0) = -4 < 0
Do đó, điểm M(0;3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Chú ý. Phân biệt các khái niệm: cực trị, điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Bài 7. Tìm điểm cực đại của hàm số y = sin2x + cosx + 1 với x ∈ (0; π)
Lời giải:
Ta có:
Bài 8. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các phát biểu sau?
1. Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
2. Hàm số không liên tục tại x = 0.
3. Hàm số không có cực trị tại x = 0.
4. Hàm số đạt cực trị tại x = 0.
Lời giải:
Đồ thị hàm số y = |x| có dạng hình vẽ.
Từ đồ thị trong hình ta có hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Sử dụng định nghĩa cực trị ta có hàm số y = |x| đạt cực tiểu tại x = 0
Do đó mệnh đề 1 và 4 đúng.
Bài 9. Cho hàm số y = -3x4 - 2x3 + 3. Hàm số có?
Lời giải:
Ta có y' = -12x3 - 4x
Xét y'=0 => x = 0
Hàm số chỉ có một cực đại tại x = 0.
Bài 10. Cho hàm số y = x4 - 2(m - 1)x2 + m2. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông
Lời giải:
Ta có: y’ = 4x3 – 6x2 + 2x
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và x = 1; fCT = f(0) = f(1) = – 8
Hàm số đạt cực đại tại
b)
TXĐ: D = R\{– 4}.
Phương trình y’ = 0 vô nghiệm nên hàm số không có cực trị.
2 Bài tập tự luyện có hướng dẫn
Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:
60 Bài tập về Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án năm 2023)
60 Bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án năm 2023)
60 Bài tập về Hàm số lũy thừa (có đáp án năm 2023)
60 Bài tập về Lôgarit (có đáp án năm 2023)
60 Bài tập về Phương trình mũ và phương trình logarit (có đáp án năm 2024)