30 bài tập các biểu thức về tổ hợp 2024 (có đáp án)

Bài tập về các biểu thức về tổ hợp

I. Lý thuyết

1. Tổng hợp lý thuyết

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k,  (1 ≤ k ≤ n). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

- Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là :   .

- Tính chất :

- Đặc điểm: Tổ hợp là chọn phần tử không quan trọng thứ tự, số phần tử được chọn là k: 0 ≤ k ≤ n

2. Các công thức

Công thức tổ hợp:   

Công thức tính chất của tổ hợp:

II. Bài tập vận dụng

Câu 1: Một tổ gồm 12 học sinh. Có bao nhiêu cách:

a) Chọn ra 2 bạn đại diện cho nhóm

b) Chọn ra 2 bạn, rồi phân công chứ vụ tổ trưởng và tổ phó

c) Chia tổ thành 2 nhóm, trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm.

Lời giải

a) Chọn 2 bạn từ 12 bạn là tổ hợp chập 2 của 12: C₁₂² = 66 cách.

b) Chọn 2 bạn rồi phân công chức vị là chỉnh hợp chập 2 của 12: A₁₂² = 132 cách.

c) Chia tổ thành 2 nhóm tức mỗi nhóm có 6 bạn

Trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ trưởng trong 10 bạn còn lại: C₁₀⁵ = 252 cách.

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ phó trong 5 bạn còn lại: C₅⁵ = 1 cách.

Vậy có 252.1 = 252 cách.

Câu 2: Một hộp có 15 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, 10 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 viên sao cho

a) Các viên bi cùng màu

b) Số bi xanh bằng số bi đỏ, biết luôn có bi xanh và đỏ

c) Có ít nhất 1 viên bi xanh.

Lời giải

a) Chọn 5 viên bi cùng màu

+ Trường hợp 1: Chọn được 5 viên bi màu đỏ: có C₁₅⁵ = 3003 cách.

+ Trường hợp 2: Chọn được 5 viên bi màu xanh: có C₅⁵ = 1 cách.

+ Trường hợp 3: Chọn được 5 viên bi màu xanh: có C₁₀⁵ = 252 cách.

Vậy có 3003 + 1 + 252 = 3256 cách chọn.

b) Chọn được 5 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ

+ Trường hợp 1: có 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng: C₅¹ . C₁₅¹. C₁₀³ = 9000 cách.

+ Trường hợp 2: có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng: C₅² . C₁₅². C₁₀¹ = 10500 cách.

Vậy có 9000 + 10500 = 19500 cách chọn.

c) Chọn được ít nhất 1 viên bi xanh

Số cách chọn 5 viên bi bất kì là: C₃₀⁵ = 14250 cách.

Số cách chọn 5 viên trong đó không có bi xanh là: C₂₅⁵ = 53130 cách.

Vậy số cách chọn được ít nhất 1 viên bi xanh là: 142506 – 53130 = 89376 cách chọn.

Câu 3: 

Lời giải

Câu 4:

Lời giải

Câu 5: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của: x(1-2x)⁵+x² (1+3x)¹⁰

Lời giải

Đặt f(x)=x(1-2x)⁵+x² (1+3x)¹⁰

Ta có :

Vậy hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của f(x) ứng với k = 4 và i = 3 là:

Câu 6: Đa thức P(x) =(1+3x+2x²)¹⁰=a₀ + a₁ x + ⋯ + a₂₀ x²⁰. Tìm a₁₅

Lời giải

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. Do đó k + i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

Câu 7: Tính tổng sau:

Lời giải

 Câu 8: Tìm số nguyên dương n sao cho:

Lời giải

Câu 9: Cho 10 điểm phân biệt A1, A2, ..., A10 trong đó có 4 điểm A1, A2, A3, A4 thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên?

Lời giải:

Câu 10: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này.

Lời giải: