100 Bài tập về Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp (có đáp án năm 2024)

Kiến thức cần nhớ

1. Hoán vị

– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phần tử).

Kí hiệu P_n là số hoán vị của n phần tử.

– Số các hoán vị của n phần tử (n ≥ 1) bằng:

P_n = n(n – 1)(n – 2)….2. 1.

Chú ý:

+ Ta đưa vào kí hiệu n! = n(n – 1)(n – 2)…. 2. 1 và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n.

Khi đó  = n!.

+ Quy ước: 0! = 1.

Ví dụ: Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7? Trong những số đó có bao nhiêu số lẻ?

Hướng dẫn giải

• Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được lập từ 6 chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7 là một hoán vị của 6 chữ số này. Do đó, số số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập được là:

$P_6$ = 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720 (số).

Vậy lập được 720 số.

Ta lập số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7.

• Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ.

 Có 4 cách chọn (chọn một trong các chữ số 1; 3; 5; 7).

Bước 2: Chọn năm chữ số còn lại.

Có P₅ = 5! cách chọn.

Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên lẻ có sáu chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho là:

4.5! = 480 (số).

2. Chỉnh hợp

– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.

Kí hiệu $A_n^k$  là số chỉnh hợp chập k của n phần tử.

– Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng:

$A_n^k$ = n(n – 1)(n – 2) ….(n – k + 1) = $\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$ .

Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Ta có $P_n=A_n^n$ , n ≥ 1.

Ví dụ: Trên bàn có 10 quả cam to nhỏ khác nhau. Chọn 3 quả cam trong 10 quả đó, và đặt mỗi quả vào một giỏ nhựa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 quả cam đó.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 3 quả cam trong 10 quả cam đó và đặt vào 3 giỏ nhựa được gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 10 quả cam. Ta thấy số các chỉnh hợp này bằng:

$A_{10}^3$ = 10. 9. 8 = 720.

Vậy có 720 cách chọn 3 quả cam đó.

3. Tổ hợp

– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi tập con gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Kí hiệu $C_n^k$  là số tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n).

– Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng:

 $C_n^k$ = $\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$ .

Chú ý: Người ta quy ước $C_n^0=1$ .

Nhận xét: $C_n^k=C_n^{n-k}$  (0 ≤ k ≤ n).

Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh. Trong tuần sau có 5 bạn được cử đi dự đại hội Đoàn Thanh niên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp từ 20 bạn học sinh là một tổ hợp chập 5 của 20 học sinh. Do đó số cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên là:

$C_{20}^5=\frac{20!}{5!.15!}$ = 15 504 (cách).

Vậy có 15 504 cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên.

Ví dụ: Tính:

a) $C_{14}^{11};$

b) $C_{24}^{22}+C_{24}^2;$

c) $C_{27}^2-C_{26}^2.$

Hướng dẫn giải

a) $C_{14}^{11}=\frac{14!}{11!.3!}=\frac{\mathrm{14.13.12.11}!}{11!\mathrm{.3.2.1}}=\frac{\mathrm{14.13.12}}{\mathrm{3.2.1}}=364.$

b) $C_{24}^{22}+C_{24}^2=C_{24}^{24-2}+C_{24}^2=C_{24}^2+C_{24}^2=2C_{24}^2$

$=2.\frac{24!}{2!.22!}=2.\frac{\mathrm{24.23.22}!}{\mathrm{2.1.22}!}=24.23=552.$

c) $C_{27}^2-C_{26}^2=\frac{27!}{2!.25!}-\frac{26!}{2!.24!}=\frac{\mathrm{27.26.25}!}{\mathrm{2.1.25}!}-\frac{\mathrm{26.25.24}!}{\mathrm{2.1.24}!}$

$=\frac{27.26}{2.1}-\frac{26.25}{2.1}=\frac{26}{2}.\left(27-25\right)=13.2=26.$

4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh các số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ:

• Để tính $P_{10}$  ta ấn liên tiếp các phím:

$\boxed{10}\boxed{SHIFT}\boxed{x^{-1}}\left(x!\right)\boxed{=}$

Ta nhận được kết quả là 3 628 800.

• Để tính $A_6^4$  ta ấn liên tiếp các phím:

$\boxed{6}\boxed{SHIFT}\boxed{\times }\left(n\mathrm{Pr}\right)\boxed{4}\boxed{=}$

Ta nhận được kết quả là 360.

• Để tính $C_8^4$  ta ấn liên tiếp các phím:

$\boxed{8}\boxed{SHIFT}\boxed{÷}\left(nCr\right)\boxed{4}\boxed{=}$

Ta nhận được kết quả là 70.

Các dạng bài tập về Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp

Dạng 1. Hoán vị

Phương pháp giải

Khi giải bài toán chọn trên một tập x có n phần tử, ta sẽ dùng hoán vị nếu có hai dấu hiệu sau:

* Chọn hết các phần tử của x.

* Có sắp xếp theo một thứ tự nào đó.

Dạng 2. Chỉnh hợp

Phương pháp giải

Khi giải một bài toán chọn trên một tập x có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu có hai dấu hiệu sau:

* Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của x (1 =< k =< n).

* Có sắp xếp thứ tự các phần tử đã chọn.

Dạng 3. Tổ hợp

Phương pháp giải

Khi giải bài toán chọn trên một tập hợp x có n phần tử, ta sẽ dùng tổ hợp nếu có hai dấu hiệu sau:

* Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của x (1 =< k =< n).

* Không phụ thuộc vào thứ tự sắp xếp các phần tử đã chọn.

Dạng 4. Một số bài toán đếm số các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Để đếm số các số tự nhiên có n chữ số lập được từ một số chữ số cho trước, thỏa mãn điều kiện k cho trước, ta gọi số lập được là a1a2…an và xếp các chữ số cho trước vào các vị trí a1, a2, …, an một cách thích hợp, thỏa mãn điều kiện k.

Trong quá trình đếm, ta cũng có thể phải chia thành nhiều trường hợp và trong mỗi trường hợp có nhiều công đoạn. Từ đó sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân để đếm. Một số bài toán có thể phải sử dụng phương pháp đếm gián tiếp.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Trong một đại hội Đoàn gồm có 10 ứng viên. Người ta cần bầu ra một chủ tịch, một phó chủ tịch, một ủy viên và một thư kí. Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể về kết quả bầu này?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 4 người trong số 10 ứng viên để vào 4 vị trí (chủ tịch, phó chủ tịch, ủy viên và thư kí) là một chỉnh hợp chập 4 của 10 ứng viên. Do đó có số khả năng có thể về kết quả bầu này là:

 $A_{10}^4$ = $\frac{10!}{4!}$ = 5 040.

Vậy có 5 040 khả năng có thể về kết quả bầu.

Bài 2. Có 6 chiếc ghế ở trong một phòng học. Hỏi có 6 học sinh ngồi vào thì có bao nhiêu cách xếp? Nếu có một bạn An (có trong 6 học sinh trên) muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái thì có bao nhiêu cách xếp?

Hướng dẫn giải

• Mỗi cách xếp 6 học sinh vào 6 chiếc ghế là một hoán vị của 6 học sinh. Do đó, số cách sắp xếp 6 học sinh vào 6 chiếc ghế trống là:

$P_6$ = 6! = 720 cách.

Vậy có 720 cách xếp 6 học sinh vào 6 ghế trống.

• Bạn An muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái nên chỉ còn 5 ghế trống và 5 học sinh.

Do đó, số cách xếp 5 học sinh vào 5 chiếc ghế trống là:

$P_5$ = 5! = 120 cách.

Vậy bạn An muốn ngồi vào chiếc ghế bên trái cùng thì có 120 cách xếp.

Bài 3. Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên trong tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số chia hết cho 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 số tự nhiên đó.

Hướng dẫn giải

Các số tự nhiên có 2 chữ số chia hết cho 10 là: 10; 20; 30; …; 90.

Do đó có 9 số tự nhiên có 2 chữ số chia hết cho 10.

Mỗi cách chọn 3 số trong 9 số tự nhiên ở trên là một tổ hợp chập 3 của 9 số tự nhiên. Do đó, số cách chọn 3 số trong 9 số này là:

 $C_9^3$ = $\frac{9!}{3!.6!}$  = 84 cách.

Vậy có 84 cách chọn 3 số tự nhiên trong tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số chia hết cho 10.

Bài 4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính biểu thức sau:  $P_5+A_8^3.C_7^4.$

Hướng dẫn giải

Ta ấn lần lượt các phím sau:

5 ; Shift ; $x^{-1}$  ; + ; 8 ; Shift ; × ; 3; × ; 7 ; Shift ; ÷ ; 4; =.

$\boxed{5}\boxed{SHIFT}\boxed{x^{-1}}\boxed{+}\boxed{8}\boxed{SHIFT}\boxed{\times }\boxed{3}\boxed{\times }\boxed{7}\boxed{SHIFT}\boxed{÷}\boxed{4}\boxed{=}$

Ta được kết quả là: 11880.

Bài 5. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 viên bi trong mỗi trường hợp sau:

a) 4 viên bi có màu bất kì.

b) 4 viên bi được chọn có đúng hai viên bi màu trắng.

Hướng dẫn giải

a) Có tất cả: 6 + 8 + 10 = 24 viên bi trong hộp.

Chọn ra 4 viên bi trong tổng số 24 viên bi là tổ hợp chập 4 của 24.

Do đó số cách chọn ra 4 viên bi có màu bất kì trong hộp là: $C_{24}^4=10626$ (cách).

Vậy có 10 626 cách chọn ra 4 viên bi có màu bất kì.

b) Chọn ra 4 viên bi trong đó có đúng hai viên bi màu trắng ta chia làm hai công đoạn:

Công đoạn 1: chọn ra 2 viên bi màu trắng trong 10 viên bi màu trắng là tổ hợp chập 2 của 10. Do đó có $C_{10}^2=45$ (cách).

Công đoạn 1: chọn ra 2 viên bi trong 14 viên bi còn lại là tổ hợp chập 2 của 14. Do đó có $C_{14}^2=91$ (cách).

Theo quy tắc nhân ta có: 45.91= 4 095 cách chọn ra 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi màu trắng.

Bài 6: Có 15 tay đua xe đạp cùng xuất phát trong một cuộc đua để chọn ra 3 người về đích đầu tiên. Số kết quả có thể xảy ra là:

A.455    B.910    C.2730    D.2400

Hướng dẫn giải

Đáp án : A

Cần chọn ra 3 người về đích đầu tiên, nên giữa 3 người này không cần phải phân định thứ tự nhất nhì ba.

Số kết quả xảy ra là: 

Bài 7: Từ một nhóm gồm 6 nam và 5 nữ cần chọn ra 4 người trong đó có ít nhất một nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?

A.75    B.330    C.315    D.325

Hướng dẫn giải

Đáp án : C

+ Số cách chọn ra 4 người bất kì từ 11 người là: 

+ Số cách chọn ra 4 nam trong 6 nam là: 

⇒ số cách chọn ra 4 người trong đó có ít nhất 1 nữ là: 330- 15= 315 cách

Bài 8: Trong một trường có 4 học sinh giỏi lớp 12, 3 học sinh giỏi lớp 11 và 5 học sinh giỏi lớp 10. Cần chọn 5 học sinh giỏi để tham gia một cuộc thi với các trường khác sao cho khối 12 có 3 em và mỗi khối 10, 11 có đúng 1 em. Vậy số tất cả các cách chọn là:

A.60    B.180    C.300    D.90

Hướng dẫn giải

Đáp án : A

Chọn 3 học sinh lớp 12 có 

Chọn 1 học sinh lớp 11 có 

Chọn 1 học sinh lớp 10 có 

Do đó có; 4.3.5= 60 cách chọn

Bài 9: Hai đơn vị thi đấu cờ tướng A và B lần lượt có 5 người và 6 người. Cần chọn ra mỗi đơn vị 3 người để ghép cặp thi đấu với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện như thế?

A.1500    B.1600    C.1200    D.1540

Hướng dẫn giải

Đáp án : C

+ Số cách chọn 3 người từ đơn vị A là 

+ Số cách chọn 3 người từ đơn vị B là 

+ Sau khi chọn 3 người từ mỗi đơn vị; ta đi ghép các cặp đấu.

Đánh số thứ tự của 3 người từ đơn vị A lần lượt là 1; 2; 3.

Người thứ 1 của đơn vị B có 3 cách chọn; người thứ 2 của đơn vị B có 2 cách chọn và người thứ 3 của đơn vị B có 1 cách chọn.

⇒ Có 3.2.1= 6 cách ghép các cặp đấu.

Vậy có: 10 .20. 6= 1200 cách thực hiện việc ghép cặp thi đấu.

Bài 10: Cho 2 đường thẳng a và b song song với nhau.Trên đường thẳng a lấy 7 điểm phân biệt, trên đường thẳng b lấy 6 điểm phân biệt. Hỏi có thể dựng được bao nhiêu tam giác từ 13 điểm đã cho?

A.240    B.231    C.210    D.180

Hướng dẫn giải

Đáp án : B

Số tam giác có 1 đỉnh nằm trên a và 2 đỉnh nằm trên b là: 

Số tam giác có 2 đỉnh nằm trên a và 1 đỉnh nằm trên b là: 

Do đó số tam giác có thể dựng được là : 105+ 126 = 231 tam giác

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn (72 trang)

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

100 Bài tập về Nhị thức Newton (có đáp án năm 2023)

100 Bài tập biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất (có đáp án năm 2023)

500 Bài tập Toán 10 Mệnh đề và tập hợp (có đáp án năm 2023)

90 Bài tập hàm số. hàm số bậc hai và tam thức bậc hai (có đáp án năm 2023) 

2000 Bài tập Toán 10 phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (có đáp án năm 2023)