20 Bài tập về cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác (2024) có đáp án

Bài tập cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác 

1. Lý thuyết

a. Hàm số y = sinx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

b. Hàm số y = cosx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

c. Hàm số y = tanx

- Tập xác định: $D=R\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

- Tập giá trị: R

d. Hàm số y = cotx

- Tập xác định: $D=R\backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

- Tập giá trị: R

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

$y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ xác định khi $g\left(x\right)\ne 0$

$y=\sqrt{f\left(x\right)}$ xác định khi $f\left(x\right)\ge 0$

$y=\frac{f\left(x\right)}{\sqrt{g\left(x\right)}}$ xác định khi g(x) > 0

y = tan[u(x)] xác định khi $u\left(x\right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

y = cot[u(x)] xác định khi $u\left(x\right)\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\sin x\ne 0$ khi $x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\cos x\ne 0$ khi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau

a) $y=\tan \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)$

b) $y=\sqrt{2-\sin x}$

Lời giải

a) $y=\tan \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sin \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)}{\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)}$

Điều kiện xác định: $\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)\ne 0$

$\begin{array}{l}\iff 3x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ \iff 3x\ne \frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ \iff x\ne \frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\right\}$

b) Điều kiện xác định: $2-\sin x\ge 0$

$\iff \sin x\le 2$ (đúng $\forall x\in ℝ$) vì $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$ 

Vậy tập xác định của hàm số là D = R.

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau

a) $y=\frac{2}{\sin x-\cos x}$

b) $y=\frac{\tan 3x}{2\sin x+1}+\cot \left(x-1\right)$

Lời giải

a) Điều kiện xác định: $\sin x-\cos x\ne 0\iff \sin x\ne \cos x$ (*)

+ Trường hợp 1: cosx = 0. Ta có sin²x + cos²x = 1

$\iff {\sin }^{2}x=1\iff \sin x=\pm 1$ 

Hiển nhiên $\sin x\ne \cos x$.

+ Trường hợp 2: $\cos x\ne 0$. Chia cả hai vế cho cosx

(*) $\iff \frac{\sin x}{\cos x}\ne 1$$\iff \tan x\ne 1$$\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

b) Vì $\tan 3x=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}$ và $\cot \left(x-1\right)=\frac{\cos \left(x-1\right)}{\sin \left(x-1\right)}$

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}\cos 3x\ne 0\\ \sin x\ne \frac{-1}{2}\\ \sin \left(x-1\right)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne \frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ x-1\ne k\pi \end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne \frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne 1+k\pi \end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne 1+k\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3};1+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Dạng 2. Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$-1\le \sin \left[u\left(x\right)\right]\le 1; 0\le {\sin }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$$0\le \left|\sin \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

$-1\le \cos \left[u\left(x\right)\right]\le 1;0\le {\cos }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$ $0\le \left|\cos \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y = 2sin3x – 5

b) $y=2{\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)+5$

c) y = |cos(3x-2)| + 4

Lời giải

a) Ta có: $-1\le \sin 3x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin 3x\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -7\le 2\sin 3x-5\le -3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: T = [-7;-3].

b) Ta có: $0\le {\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$$$\begin{array}{l}\iff 0\le 2{\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff 5\le 2{\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)+5\le 7\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: T = [5;7].

c) Ta có: $0\le \left|cos\left(3x-2\right)\right|\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff 4\le \left|cos\left(3x-2\right)\right|+4\le 5\forall x\in ℝ$

Vậy tập giá trị: T = [4;5].

Ví dụ 2. Tìm tập giác trị của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{\sin x+1}-2$

b) y = cos2x + 4sinx +1

Lời giải

a) Điều kiện xác định: $\sin x+1\ge 0\iff \sin x\ge -1\forall x\in ℝ$.

Tập xác định D = R.

Ta có: $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 0\le \sin x+1\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le \sqrt{\sin x+1}\le \sqrt{2}\forall x\in ℝ\\ \iff -2\le \sqrt{\sin x+1}-2\le \sqrt{2}-2\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: $T=\left[-2;\sqrt{2}-2\right]$.

b) y = cos2x + 4sinx +1 = 1 - 2sin²x + 4sinx +1 = -2sin²x + 4sinx + 2 = -2(sinx – 1)² + 4.

Ta có: $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le \sin x-1\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le {\left(\sin x-1\right)}^2\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff -8\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff -4\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2+4\le 4\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: T = [-4;4].

Dạng 3. Tìm m để hàm số lượng giác có tập xác định là R

- Phương pháp giải:

$\begin{array}{l}m\ge f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m\ge \underset{x\in \left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)\\ m>f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m>\underset{x\in \left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)\\ m\le f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m\le \underset{x\in \left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)\\ m<f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m<\underset{x\in \left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)\end{array}$

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm m để hàm số $y=\sqrt{\sin x+m}$ xác định trên R.

Lời giải

Để hàm số xác định trên R thì $\sin x+m\ge 0\forall x\in ℝ\iff m\ge -\sin x\forall x\in ℝ$.

Mà ta có $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff -1\le -\sin x\le 1\forall x\in ℝ$

Nên $m\ge 1$.

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số $y=\sqrt{{\sin }^{2}x-2\sin x+m}$ xác định trên R.

Lời giải

Ta có:$y=\sqrt{{\sin }^{2}x-2\sin x+m}$$=\sqrt{{\left(\sin x-1\right)}^2+m-1}$

Hàm số xác định trên R khi ${\left(\sin x-1\right)}^2+m-1\ge 0\forall x\in ℝ$

$\iff m\ge 1-{\left(\sin x-1\right)}^2\forall x\in ℝ$

Ta có: $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le \sin x-1\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le {\left(\sin x-1\right)}^2\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff -4\le -{\left(\sin x-1\right)}^2\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff -3\le 1-{\left(\sin x-1\right)}^2\le 1\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy $m\ge 1$.

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1. Tìm tập xác định D của hàm số 

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C.

Hàm số xác định khi và chỉ khi 

Vậy tập xác định 

Bài tập 2. Tìm tập xác định D của hàm số 

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số xác định khi và chỉ khi 

Vậy tập xác định  .

Bài tập 3. Tập xác định của hàm số  . là

A. 

B. 

C.

D. 

Lời giải:

Chọn B

Ta có  .

Vậy hàm số đã cho xác định với mọi x∈R

Bài tập 4. Hàm số  chỉ xác định khi:

A.x ≠ π/2 +kπ, k∈Z .

B.x=0 .

C.x≠  kπ,k∈Z .

D.x= k2π,k∈Z .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số đã cho xác định khi cos x - 1 ≥0, mà cos x - 1 ≤0,∀x∈R

Do vậy để hàm số xác định thì cosx=1, x= k2π,k∈Z

Bài tập 5. Tập xác định của hàm số  là:

A. R

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn C

Hàm số xác định khi cos⁡(x/2-π/4) ≠ 0

⇔ x/2-π/4  ≠  π/2+kπ ⇔ x/2  ≠  3π/4+kπ

⇔ x  ≠  3π/2+k2π,k ∈ Z

Bài tập 6: Tập xác định của hàm số D. . là:

A. R\{π/6+kπ/2,k ∈ Z}.

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn A

Hàm số xác định khi sin⁡(2x-π/3) ≠ 0

⇔2x-π/3 ≠  kπ ⇔ 2x  ≠  π/3+ kπ

⇔ x  ≠  π/6+kπ/2,k ∈ Z

Bài tập 7. Xét hai mệnh đề sau:

(I): Các hàm số y= sin x và y= cosx có chung tập xác định là R

(II): Các hàm số y= tanx và y= cotx có chung tập xác định là

. .

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.

Lời giải:

Chọn A

+ Hai hàm số y= sinx và y= cosx có chung tập xác định là D = R

⇒ (I) đúng

+ Hàm số y= tanx tập xác định là  .

Và hàm số y= cot x tập xác định là  .

suy ra (II) sai

Bài tập 8: Tập xác định của hàm số  là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A

ĐK: .

Tập xác định .

 .

Bài tập 9: Tập xác định của hàm số  . là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn A

Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi  .

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số  .

và  .

ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A

Bài tập 10: Tìm tập xác định D của hàm số  .

A. .

B=R

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn B

Ta có  .

Vậy tập xác định D=R .

Bài tập 11: Tìm tập xác định của hàm số  .

A.Ta có  .

B .D =

C. Ta có  .

D.

Ta có  .

Lời giải:

Chọn C

Ta có  .

Vậy hàm số đã cho xác định khi  .

Bài tập 12: Tìm tập xác định của hàm số: .

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C

Hàm số đã cho xác định khi 

Mà cos18x ≥ -1 ⇒ 19cos18 x ≥ -19

⇒ 20+ 19cos18x ≥ 20-19= 1 > 0

Vậy 20+19cos18x > 0, ∀x ∈ R nên hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

Vậy hàm số đã cho xác định khi x ≠ π/2+k2π,k ∈ Z

Bài tập 13: Hàm số nào sau đây có tập xác định là R?

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn D

Ta xét các phương án:

+ Với A thì hàm số xác định khi

+Với B thì hàm số xác định khi

+ Với C thì hàm số xác định khi tan2x xác định ≤ ⇒ cos2x ≠ 0

 .

+ Với D thì cos 4x ≥ -1 và sin2x ≥ -1 với ∀ x

⇒ cos4x + 5 > 0 và sin2x + 3 > 0với mọi x

⇒ 

Bài tập 14: Hàm số nào sau đây có tập xác định khác với các hàm số còn lại?

A. y= tanx

B.

C.

D. .

Lời giải:

Chọn C

Với A thì hàm số xác định khi cosx khác 0

Với B thì hàm số xác định khi cosx khác 0

Với C thì hàm số xác định khi 

Từ đây ta chọn C do khác với A và B

Bài tập 15: Hàm số  có tập xác định là:

A. .

B.D=R .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn B

Hàm số đã cho xác định khi:

 đúng với mọi x

Do đó hàm số đã cho có tập xác định: D= R

Bài tập 16: Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số  có tập xác định là các đoạn 

B. Hàm số  có tập xác định là các đoạn 

C. Hàm số  có tập xác định là các đoạn 

D. Hàm số  có tập xác định là các đoạn 

Lời giải:

Chọn C

Ta xét các phương án:

+ Với A thì hàm số  xác định khi 

Vậy A sai.

+ Với B thì hàm số  xác định khi 

Vậy B sai.

+ Với C thì hàm số xác định khi  xác định khi 

Vậy C đúng.

Bài tập 17: Xét hai mệnh đề:

(I): Các hàm số y= 1/sinx và y= cotx có chung tập xác định là  .

(II):Các hàm số y= 1/cosx và y= tanx có chung tập xác định là  .

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đều sai.

D.Cả hai đều đúng.

Lời giải:

Chọn D

+ Ta thấy cả hai hàm số y= 1/sinx và y = cot x đều xác định khi sinx ≠ 0 .

+ Tương tự thì hai hàm số ở mệnh đề II đều xác định khi cosx ≠ 0 .

⇒ Cả hai mệnh đề đã cho là đúng .

Bài tập 18: Cho hàm số  . Tập xác định của hàm số là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi:  .

Bài tập 19: Cho hàm số  . Tập xác định:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số xác định khi 

Bài tập 20: Cho hàm số  .Hãy chỉ ra khoảng mà hàm số không xác định k∈Z

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B

Hàm số đã cho xác định khi  .

Khoảng  .

nên hàm số không xác định trong khoảng này

Bài tập 21: Tập xác định của hàm số y= cosx/(cos3x.cos⁡( x- π/3).cos⁡( π/3+x) ) là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn A

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

cos⁡3x.cos⁡( x- π/3).cos⁡( π/3+x) ≠ 0

 .

Bài tập 22: Tập xác định của hàm số  . là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn B

Hàm số  . xác định khi .

Vậy tập xác định của hàm số là: D=R\{kπ/2;k ∈ Z}.

Bài tập 23: Tập xác định của hàm số  . là:

A. .

B.D=R.

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn A

Ta có -1 ≤ cos2x ≤ 1 nên -3 ≤ -3cos⁡2x ≤ 3

⇒ 2 ≤ 5-3cos2x ≤ 8. Vậy 5-3cos2x > 0 với mọi x. .

Mặt khác 

Hàm số đã cho xác định

Tập xác định 

Xem thêm các dạng bài tập Toán học lớp 11 hay khác:

500 Bài tập Toán 11 chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (có đáp án năm 2024)

30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án

30 Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác (2024) có đáp án chi tiết

30 Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác (2024) cực hay, có đáp án

50 Bài tập Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác (2024) cực hay, có đáp án

30 bài tập Tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác cực hay 2024