100 bài tập về tổng hợp dao động điều hòa (2024) có đáp án chi tiết nhất

Bài tập về tổng hợp dao động điều hòa

Kiến thức cần nhớ

1. Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay.

Mỗi dao đông điều hòa được biểu diễn bằng một véc tơ quay. Véc tơ này có góc tại góc tọa độ của trục Ox, có độ dài bằng biên độ dao động A, hợp với hục Ox một góc ban đầu cp và quay đều quanh O với vận tốc góc ω.

2. Tổng hợp các dao động điều hòa.

Phương pháp giản đồ Fre−nen: Lần lượt vẽ hai véc tơ quay biếu diễn hai phương trình dao động thành phần. Sau đó vẽ véc tơ tổng hợp của hai véc tơ trên.

Véc tơ tổng là véc tơ quay biểu diễn phương trình của dao động tổng hợp.

 + Nếu một vật tham gia đồng thời hai dao $x_1=A_1\cos \left(\omega t+{\phi }_1\right)$  và $x_2=A_2\cos \left(\omega t+{\phi }_2\right)$   thì dao động tổng hợp sẽ là: $x=x_1+x_2=A\cos \left(\omega t+\phi \right)$  với A và  $\phi$ được xác định bởi: 

 $$\begin{gathered} A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \left({\phi }_2-{\phi }_1\right) \\ \tan \phi =\frac{{\displaystyle A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}}{{\displaystyle A_1\cos {\phi }_1+A_2\cos {\phi }_2}} \end{gathered}$$

Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ và pha ban đầu của các dao động thành phần.

+ Khi hai dao động thành phần cùng pha (${\phi }_2-{\phi }_1=2k\pi$ ) thì dao động tổng hợp có biên độ cực đại: A = A₁ + A₂

+ Khi hai dao động thành phần ngược pha ( ${\phi }_2-{\phi }_1=\left(2k+1\right)\pi$ ) thì dao động tổng hợp có biên độ cực tiểu: $A=\left|A_1-A_2\right|$ .

+ Trường hợp tổng quát: $A_1+A_2\ge A\ge \left|A_1-A_2\right|$ .

Các dạng bài tập về tổng hợp dao động điều hòa

Dạng 1. Bài toán thuận trong tổng hợp dao động điều hòa

Nội dung bài toán: Cho biết các phương trình dao động thành phần, yêu cầu tìm dao động tổng hợp.

Phương pháp giải:     

Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số.

Cách 1. Phương pháp áp dụng trực tiếp công thức tính A và  $\tan \phi$

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=A_1\cos \left(\omega t+{\phi }_1\right)\\ x_2=A_2\cos \left(\omega t+{\phi }_2\right)\end{array}\right.\Rightarrow \boxed{x=A\cos \left(\omega t+\phi \right)}\left\{\begin{array}{l}A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \left({\phi }_2-{\phi }_1\right)}\\ \tan \phi =\frac{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}{A_1\cos {\phi }_1+A_2\cos {\phi }_2}\end{array}\right.$

* Nếu một dạng hàm cos, một dạng hàm sin thì đổi:  $\sin \left(\omega t+\alpha \right)=\cos \left(\omega t+\alpha -\frac{\pi }{2}\right)$

* Nếu hai dao động cùng pha:  ${\phi }_2-{\phi }_1=k2\pi \Rightarrow A_{\max }=A_1+A_2.$

* Nếu hai dao động thành phần ngược pha:  ${\phi }_2-{\phi }_1=\left(2k+1\right)\pi \Rightarrow A_{\min }=\left|A_1-A_2\right|$

* Nếu hai dao động thành phần vuông pha:  ${\phi }_2-i_1=\left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}\Rightarrow A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}$

Cách 2. Phương pháp cộng các hàm lượng giác

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}x=x_1+x_2+\mathrm{...}\\ x=A_1\cos \left(\omega t+{\phi }_1\right)+A_2\cos \left(\omega t+{\phi }_2\right)+\mathrm{..}\end{array} \\ x=\cos \omega t\underset{A\cos \phi }{\underbracket{\left(A_1\cos {\phi }_1+A_2\cos {\phi }_2+\mathrm{...}\right)}}-\sin \omega t\underset{A\sin \phi }{\underbracket{\left(A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2\right)}} \\ \Rightarrow x=A\cos \left(\omega t+\phi \right) \end{gathered}$$

Cách 3. Phương pháp cộng số phức.

$$\begin{gathered} x=x_1+x_2+\mathrm{...} \\ x=A_1\angle {\phi }_1+A_2\angle {\phi }_2+\mathrm{...} \end{gathered}$$

Kinh nghiệm:

1) Khi cần tổng hợp hai dao động điều hòa có thể dùng một trong ba cách trên. Khi cần tổng hợp ba dao động điều hòa trở lên thì nên dùng cách 2 hoặc cách 3.

2) Phương pháp cộng số phức chỉ áp dụng trong trường hợp các số liệu tường minh hoặc biên độ của chủng có dạng nhân cùng với một số.

 Ví dụ: $\left\{\begin{array}{l}{A}_1=\sqrt{2}A\\ A_2=\sqrt{3}a\\ A_3=\sqrt{5}a\end{array}\right.\Rightarrow$  Chọn a = 1.

Dạng 2. Bài toán ngược và "biến tướng" trong tổng hợp dao động điều hòa

1. Bài toán ngược trong tổng hợp dao động điều hoà

Nội dung bài toán: Cho biết các đại lượng trong dao động tổng hợp, yêu cầu tìm một số đại lượng trong các phương trình dao động thành phần.

Phương pháp giải:

Từ công thức:  $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+x_2\Rightarrow x_2=x-x_1=A\angle \phi -A_1\angle {\phi }_1\\ x=x_1+x_2+x_3\Rightarrow x_3=x-x_1-x_2=A\angle \phi -A_1\angle {\phi }_1-A_2\angle {\phi }_2\end{array}\right.$

2. “Biến tướng” trong tổng hợp dao động điều hoà

Về mặt toán học, thực chất của tổng hợp các dao động điều hoà là cộng các hàm sin, hàm cos (cộng các véc tơ hay cộng các số phức).

Vì $-\sin \left(\omega t+\phi \right)=\sin \left(\omega t+\phi +\phi \right)$  và $-\cos \left(\omega t+\phi \right)=\cos \left(\omega t+\phi +\pi \right)$  nên trừ các hàm sin, cos có thể xem như đó là biến tướng của tổng hợp dao động.

Gỉ sử hai chất điểm M, N dao động điều hòa cùng một trục Ox cùng vị trí cân bằng O và cùng tần số với phương trình lần lượt:  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=A_1\cos \left(\omega t+{\phi }_1\right)\\ x_2=A_2\cos \left(\omega t+{\phi }_2\right)\end{array}\right.$

Tổng đại số: $\overline{OM}+\overline{ON}$  là:  $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+x_2=A_1\cos \left(\omega t+{\phi }_1\right)+A_2\cos \left(\omega t+{\phi }_2\right)\\ x=A_1\angle {\phi }_1+A_2\angle {\phi }_2=A\angle \phi \Rightarrow {\left|x\right|}_{\max }=A\end{array}\right.$

Khoảng cách đại số $\overline{MN}:$ $\left\{\begin{array}{l}\Delta x=x_2-x_1=A_2\cos \left(\omega t+{\phi }_2\right)-A_1\cos \left(\omega t+{\phi }_1\right)\\ \Delta x=A_2\angle {\phi }_2-A_1\angle {\phi }_1=b\angle \phi \Rightarrow {\left|\Delta x\right|}_{\max }=b\end{array}\right.$

3. Hai chất điểm dao động điều hòa trên 2 đường thẳng song song hoặc trong hai mặt phẳng song song có cùng vị trí cân bằng là ở gốc tọa độ

Nếu hai dao động điều hòa lệch pha nhau Δφ:

 x₁ = A₁coscot và x₂ = A₂cos(ωt + φ) thì tổng li độ x = x₂ + x₁= A₂cos(ωt + φ) + A₁cosωt và hiệu li độ Δx = x₂ – x₁ = A₂cos(ωt + φ) + A₁cos(ωt + φ).

Gọi A và b lần lượt là biên độ dao động tổng hợp và khoảng cách cực đại giữa hai chất điểm thì:

$\left\{\begin{array}{l}{A}^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \Delta \phi \\ B^2=A_1^2+A_2^2-2A_1{A}_2\cos \Delta \phi \end{array}\right.$   (như hình vẽ)

A và B là hai đường chéo của hình bình hành!). Khi biết một số đại lượng trong số các đại lượng A, B, A₁, A₂ và Δφ thì sẽ tính được đại lượng còn lại.

4. Hiện tượng trùng phùng và gặp nhau

4.1. Hiện tượng trùng phùng với hai con lắc có chu kì khác nhau nhiều

Giả sử hai con lắc bắt đầu dao động từ thời điểm t = 0. Sau khoảng thời gian Δt con lắc 1 thực hiện đúng n₁ dao động, con lắc 2 thực hiện đúng n₂ dao động:

$\Delta t=n_1{T}_1=n_2{T}_2\Rightarrow \frac{n_1}{n_2}=$ phân số tối giản  $=\frac{a}{b}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{n}_1=an\\ n_2=bn\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta t=an{T}_1=bn{T}_2,\Delta t_{\min }=a.T_1+b{T}_2$ khi n = 1

4.2. Hiện tượng trùng phùng với hai con lắc có chu kì xấp xỉ nhau

Hai con lắc có chu kì xấp xỉ nhau T₁ và T₂ (giả sử T₂ < T₁) bắt đầu dao động từ một thời điểm t = 0, sau khi con lắc thứ hai thực hiện một dao động thì con lắc thứ nhất còn “1 chút” nữa mới được một dao động. Sẽ tồn tại một khoảng thời gian Δt để con lắc thứ hai hơn con lắc thứ nhất đúng một dao động: $\frac{\Delta t}{T_2}-\frac{\Delta t}{T_1}=1\iff \frac{\Delta t}{T_{be}}-\frac{\Delta t}{T_{lon}}=1\Rightarrow \Delta t=\frac{T_{lon}.T_{be}}{T_{lon}-T_{be}}$

4.3. Hiện tượng gặp nhau của hai con lắc

Hai dao động điều hòa cùng phương Ox cùng biên độ và cùng vị trí cân bằng O với phương hình lần lượt là: $x_1=A\cos \left({\omega }_{1}t+{\phi }_1\right),x_2=A\cos \left({\omega }_{2}t+{\phi }_2\right)$ . Để tìm các thời điểm gặp nhau có thể: giải phương trình   hoặc dùng vòng tròn lượng giác.

Khi giải phương trình x₁ = x₂ ta được hai họ nghiệm:

$\left[\begin{array}{l}\left({\omega }_{2}t+{\phi }_2\right)+\left({\omega }_{1}t+{\phi }_1\right)=k.2\pi \\ \left({\omega }_{2}t+{\phi }_2\right)-\left({\omega }_{1}t\right)+{\phi }_1=\mathcal{l}.2\pi \end{array}\right.$ nếu ${\omega }_2>{\omega }_1$

Hoặc: $\left[\begin{array}{l}\left({\omega }_{1}t+{\phi }_1\right)+\left({\omega }_{2}t+{\phi }_2\right)=k.2\pi \\ \left({\omega }_{1}t+{\phi }_1\right)-\left({\omega }_{2}t+{\phi }_2\right)=\mathcal{l}.2\pi \end{array}\right.$  (nếu ${\omega }_2<{\omega }_1$ )

Trong đó, k và  là các số nguyên sao cho t > 0. Thời điểm lần đầu tiên ứng với giá trị t > 0 và nhỏ nhất (thông thường ứng với  = 0 hoặc 1)

Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Câu 1: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x = Acos10t (t tính bằng s). Tại t = 2 s, pha của dao động là:

A. 10 rad.      B. 40 rad.

C. 20 rad.      D. 5 rad.

Câu 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox theo phương trình x = Acos (ωt + φ). Vận tốc của vật có biểu thức là:

A. v = ωAcos (ωt +φ).

B. v = –ωAsin (ωt +φ).

C. v = –Asin (ωt +φ).

D. v = ωAsin (ωt +φ).

Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa dọc trục Ox với phương trình x = 10cos2πt (cm). Quãng đường đi được của chất điểm trong một chu kì dao động là:

A. 10 cm.      B. 30 cm.

C. 40 cm.      D. 20 cm.

Câu 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 5cosπt (cm,s). Tốc độ của vật có giá trị cực đại là bao nhiêu?

A. –5π cm/s.      B. 5π cm/s.

C. 5 cm/s.      D. 5/π cm/s.

Câu 5: Chọn một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn thẳng MN dài 6 cm với tần số 2 Hz. Chọn gốc thời gian là lúc chất điểm có li độ 3√3/2 cm và chuyển động ngược chiều với chiều dương mà mình đã chọn. Phương trình dao động của chất điểm là:

A. x = 3sin(4πt + π/3) cm

B. x = 3cos(4πt + π/6) cm

C. x = 3sin(4πt + π/6) cm

D. x = 3cos(4πt + 5π/6) cm

Câu 6: Vật dao động điều hòa theo phương trình x = Acosωt (cm). Sau khi dao động được 1/6 chu kì vật có li độ √3/2 cm. Biên độ dao động của vật là:

A. 2√2 cm      B. √3 cm

C. 2 cm      D. 4√2 cm

Câu 7: Phương trình dao động của một vật dao động điều hòa là: x = - 5cos(10πt + π/6) cm. Chọn đáp án đúng:

A. Biên độ A = -5 cm

B. Pha ban đầu φ = π/6 (rad)

C. Chu kì T = 0,2 s

D. Li độ ban đầu x₀ = 5 cm

Câu 8: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 6cos²(4πt + π/6) cm. Quãng đường vật đi được trong 0,125 s kể từ thời điểm t = 0 là:

A. 6cm      B. 4,5cm

C. 7,5cm      D. 9cm

Câu 9: Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì 1,25 s và biên độ 5 cm. Tốc độ lớn nhất của chất điểm là:

A. 25,1 cm/s.      B. 2,5 cm/s.

C. 63,5 cm/s.      D. 6,3 cm/s.

Câu 10: Một vật dao động điều hoà với chu kì T, biên độ bằng 5 cm. Quãng đường vật đi được trong 2,5T là:

A. 10 cm.      B. 50 cm.

C. 45 cm.      D. 25 cm.

Câu 11: Vật dao động điều hòa với phương trình gia tốc a = 40π²cos(2πt + π/2) cm/s². Phương trình dao động của vật là

A. x = 6cos(2πt - π/4) cm

B. x = 10cos(2πt - π/2) cm

C. x = 10cos(2πt) cm

D. x = 20cos(2πt - π/2) cm

Câu 12: Một vật dao động điều hòa với phương trình dạng cos. Chọn gốc tính thời gian khi vật đổi chiều chuyển động và khi đó gia tốc của vật đang có giá trị dương. Pha ban đầu là:

A. -π/2      B. -π/3

C. π        D. π/2

Câu 13: Một vật dao động điều hòa với vận tốc góc 5 rad/s. Khi vật đi qua li độ 5 cm thì nó có tốc độ là 25 cm/s. Biên độ dao động của vật là:

A. 5√2 cm      B. 10 cm

C. 5,24 cm      D. 5√3 cm

Câu 14: Một vật dao động điều hòa với biên độ 5 cm. Khi vật có tốc độ 10 cm/s thì có gia tốc 40√3 cm/s². Tần số góc của dao động là:

A. 1 rad/s      B. 4 rad/s

C. 2 rad/s      D. 8 rad/s

Câu 15: Chất điểm dao động điểu hòa trên đoạn MN = 4 cm, với chu kì T = 2s. Chọn gốc thời gian khi chất điểm có li độ x = -1 cm, đang chuyển động theo chiều dương. Phương trình dao động là: