Con lắc đơn

Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình chuyển động của con lắc đơn

+ Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không dãn, vật nặng kích thước không đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng.

+ Khi dao động nhỏ ($\sin \alpha \approx \alpha$ (rad)), con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình: $s=A\cos \left(\omega t+\phi \right)$  hoặc $\alpha ={\alpha }_{\max }\left(\omega t+\phi \right);$   Với  $\alpha =\frac{s}{\mathcal{l}};{\alpha }_{\max }=\frac{A}{\mathcal{l}}$

+ Chu kỳ, tần số, tần số góc:  $T=2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}}{g}};f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\mathcal{l}}};\omega =\sqrt{\frac{g}{\mathcal{l}}}$

+ Lực kéo vê khi biên độ góc nhỏ:  $F=-\frac{mg}{\mathcal{l}}s.$

+ Xác định gia tốc rơi tự do nhờ con lắc đơn :  $g=\frac{4{\pi }^2\mathcal{l}}{T^2}$

+ Chu kì dao động của con lắc đơn phụ thuộc độ cao, vĩ độ địa lí và nhiệt độ môi trường.

2. Năng lượng của con lắc đơn

+ Động năng : W_đ = $\frac{1}{2}m{v}^2$ .

+ Thế năng: W_t = $mg\mathcal{l}\left(1-\cos \alpha \right)\approx \frac{1}{2}\mathcal{l}{\alpha }^2\left(\alpha \le {10}^0\approx 0,17rad\right);\alpha \left(rad\right)$ .

+ Cơ năng: $\text{W}=W_d+W_t=mg\mathcal{l}\left(1-\cos {\alpha }_{\max }\right)=\frac{1}{2}mg\mathcal{l}{\alpha }_{\max }^2$ .

Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát.

Các dạng bài tập về con lắc đơn

Dạng 1. Bài toán liên quan đến công thức tính ω, f, T

Phương pháp giải

 $\left\{\begin{array}{l}{T}_1=2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}}{g}}=\frac{\Delta t_1}{n_1}\\ T_2=2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}+\Delta \mathcal{l}}{g}}=\frac{\Delta t_2}{n_2}\end{array}\right.;\left\{\begin{array}{l}{T}_1=2\pi \sqrt{\frac{{\mathcal{l}}_1}{g}};T_2=2\pi \sqrt{\frac{{\mathcal{l}}_2}{g}}\\ T_2=2\pi \sqrt{\frac{{\mathcal{l}}_1+{\mathcal{l}}_2}{g}};T\_=2\pi \sqrt{\frac{{\mathcal{l}}_1-{\mathcal{l}}_2}{g}}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{T}_{+}^2=T_1^2+T_2^2\\ T_{-}^2=T_1^2-T_2^2\end{array}\right.$

Dạng 2. Bài toán liên quan đến năng lượng dao động

Phương pháp giải

+ Khi không có ma sát cơ năng bảo toàn, bằng tổng thế năng và động năng, bằng thế năng cực đại, bằng động năng cực đại:

$$\begin{gathered} W=mg\mathcal{l}\left(1-\cos \alpha \right)+\frac{m{v}^2}{2}=mg\mathcal{l}\left(1-\cos {\alpha }_{\max }\right) \\ =\frac{m{v}_{\max }^2}{2}\left\{\begin{array}{l}{W}_t=mgh=mg\mathcal{l}\left(1-\cos \alpha \right)\\ W_d=\frac{m{v}^2}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

 + Khi con lắc đơn dao động bé thì $\left(1-\cos \alpha \right)=2{\left(\sin \frac{\alpha }{2}\right)}^2\approx 2{\left(\frac{\alpha }{2}\right)}^2=\frac{{\alpha }^2}{2}$  nên cơ năng dao động:

$\text{W}=\frac{mg\mathcal{l}}{2}{\alpha }^2+\frac{m{v}^2}{2}=\frac{m{v}_{\max }^2}{2}{\alpha }_{\max }^2=\frac{m{\omega }^2{A}^2}{2}=\frac{mg{A}^2}{2\mathcal{l}}\left\{\begin{array}{l}{W}_t=\frac{mg\mathcal{l}}{2}{\alpha }^2\\ W_d=\frac{m{v}^2}{2}\\ {\alpha }_{\max }=\frac{A}{\mathcal{l}}\end{array}\right.$

Dạng 3. Bài toán liên quan đến vận tốc của vật, lực căng sợi dây, gia tốc

Phương pháp giải:

+ Từ công thức tính cơ năng:

 $\begin{array}{l}W=mg\mathcal{l}\left(1-\cos \alpha \right)+\frac{m{v}^2}{2}\\ =mg\mathcal{l}\left(1-\cos {\alpha }_{\max }\right)=\frac{m{v}_{\max }^2}{2}\end{array}$

 Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}{v}^2=2g\mathcal{l}\left(\cos \alpha -\cos {\alpha }_{\max }\right)\Rightarrow v=\pm \sqrt{2g\mathcal{l}\left(\cos \alpha -\cos {\alpha }_{\max }\right)}\\ v_{\max }^2=2g\mathcal{l}\left(1-\cos {\alpha }_{\max }\right)\Rightarrow v_{\max }=\sqrt{2gh\left(1-\cos {\alpha }_{\max }\right)}\end{array}\right.$

Nếu $\alpha$  nhỏ thì: $\left\{\begin{array}{l}\left(\cos \alpha -\cos {\alpha }_{\max }\right)\approx \frac{1}{2}\left({\alpha }_{\max }^2-{\alpha }^2\right)\\ \left(1-\cos {\alpha }_{\max }\right)\approx \frac{1}{2}{\alpha }_{\max }^2\end{array}\right.$ Nên  $\left\{\begin{array}{l}{v}^2=g\mathcal{l}\left({\alpha }_{\max }^2-{\alpha }^2\right)\\ v_{\max }^2=g\mathcal{l}{\alpha }_{\max }^2=\omega A\end{array}\right.$

+ Lực đóng vai trò lực hướng tâm: $R-mg\cos \alpha =F_{ht}=\frac{m{v}^2}{\mathcal{l}}=\frac{mg}{\mathcal{l}}2g\mathcal{l}\left(\cos \alpha -2\cos {\alpha }_{\max }\right)$

 $\Rightarrow T=mg\left(3\cos \alpha -2\cos {\alpha }_{\max }\right)$

Dạng 4. Bài toán liên quan đến va chạm con lắc đơn

Phương pháp giải

Vật m chuyển động vận tốc $\overrightarrow{v_0}$ , đến va chạm với vật M. Gọi $\overrightarrow{v},\overrightarrow{V}$  là vận tốc của m và M ngay sau va chạm.

+ Nếu va cham mềm: v = V nên:  $m{v}_0=\left(m+M\right)V\Rightarrow V=\frac{m{v}_0}{\left(m+M\right)}$

 + Nếu va chạm đàn hồi:  $\left\{\begin{array}{l}m{v}_0=mv+MV\\ 0,5m{v}_0^2=0,5m{v}^2+0,5M{V}^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}V=\frac{2m}{m+M}{v}_0\\ v=\frac{m-M}{m+M}{v}_0\end{array}\right.$

Dạng 5. Bài toán liên quan đến thay đổi chu kì

Phương pháp giải

1. CHU KÌ THAY ĐỒI LỚN

+ Con lắc đưa xuống sâu:  $\frac{T\text{'}}{T}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{g_h}}}{2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}}{g}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}.\sqrt{\frac{g}{g_h}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}\sqrt{\frac{\frac{GM}{R^2}}{\frac{GM}{{\left(R+h\right)}^2}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}\left(1+\frac{h}{R}\right)$

 $\frac{T\text{'}}{T}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{g_z}}}{2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}}{g}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}\sqrt{\frac{g}{g_z}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}.\sqrt{\frac{\frac{GM}{R^2}}{\frac{GM\left(R-z\right)}{R^3}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}\sqrt{\frac{R}{R-z}}$

+ Con lắc đưa lên thiên thể: $\frac{T\text{'}}{T}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{g\text{'}}}}{2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}}{g}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}.\sqrt{\frac{g\text{'}}{g}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}\sqrt{\frac{\frac{GM}{R^2}}{\frac{GM\text{'}}{R^{\text{'}2}}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}.\sqrt{\frac{M}{M\text{'}}}.\frac{R\text{'}}{R}$

+ Con lắc đơn di chuyển trên Trái Đất:  $\frac{T\text{'}}{T}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{g\text{'}}}}{2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}}{g}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}.\sqrt{\frac{g}{g\text{'}}}$

2. CHU KỲ THAY ĐỔI NHỎ

Công thức gần đúng: ${\left(1+u\right)}^{\alpha }\approx 1+\alpha u$  với  $u<<1$

 $$\begin{gathered} \sqrt{\frac{\mathcal{l}+\Delta \mathcal{l}}{\mathcal{l}}}={\left(1+\frac{\Delta \mathcal{l}}{\mathcal{l}}\right)}^{\frac{1}{2}}\approx 1+\frac{1}{2}\frac{\Delta \mathcal{l}}{\mathcal{l}} \\ \sqrt{\frac{{\displaystyle g}}{{\displaystyle g+\Delta g}}}={\left(1+\frac{{\displaystyle \Delta g}}{{\displaystyle g}}\right)}^{-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}\approx 1-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\frac{{\displaystyle \Delta g}}{{\displaystyle g}} \\ \sqrt{\frac{{\displaystyle 1+\alpha t^{/0}}}{{\displaystyle 1+\alpha t^0}}}={\left(1+\alpha t^{/0}\right)}^{\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}{\left(1+\alpha t^0\right)}^{-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}\approx \left(1+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}a{t}^{\text{'}0}\right)\left(1-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\alpha t^0\right)\approx 1+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\alpha \left(t^{/0}-t^0\right) \\ \sqrt{\frac{{\displaystyle R}}{{\displaystyle R-z}}}={\left(1-\frac{{\displaystyle z}}{{\displaystyle R}}\right)}^{-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}\approx 1+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\frac{{\displaystyle z}}{{\displaystyle R}} \end{gathered}$$

+ Chu kỳ thao đổi do thay đổi  l và g

 $\frac{T\text{'}}{T}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{g\text{'}}}}{2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}}{g}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}.\sqrt{\frac{g\text{'}}{g}}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}+\Delta \mathcal{l}}{\mathcal{l}}}.\sqrt{\frac{g}{g+\Delta g}}\approx 1+\frac{1}{2}\frac{\Delta \mathcal{l}}{\mathcal{l}}-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}$

+ Chu kỳ thay đổi do chỉ nhiệt độ thay đổi:

 $\frac{T\text{'}}{T}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}\sqrt{\frac{g}{g\text{'}}}=\sqrt{\frac{1+\alpha t^{/0}}{1+\alpha t^0}}\approx 1+\frac{1}{2}\left(t^{/0}-t^0\right)$

+ Chu kỳ thay đổi do cả nhiệt độ và vị trí đại lý thay đổi:

 $\frac{T\text{'}}{T}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}\sqrt{\frac{g}{g\text{'}}}=\sqrt{\frac{1+t^{/0}}{1+\alpha t^0}}\sqrt{\frac{g}{g+\Delta t}}\approx 1+\frac{1}{2}\alpha \left(t^{/0}-t^0\right)-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}$

+ Chu kỳ thay đổi do đưa lên độ cao h và nhiệt độ cũng thay đổi:

 $\frac{T\text{'}}{T}=\sqrt{\frac{\mathcal{l}\text{'}}{\mathcal{l}}}\sqrt{\frac{g}{g\text{'}}}=\sqrt{\frac{1+\alpha t^{/0}}{1+\alpha t^0}}.\sqrt{\frac{GM/R^2}{GM/{\left(R+h\right)}^2}}\approx 1+\frac{1}{2}\alpha \left(t^{/0}-t^0\right)+\frac{h}{R}$

Bài tập tự luyện

(Xem trong file dưới đây)

Xem thêm các phần bài tập chi tiết khác:

80 bài tập về tính chất và cấu tạo hạt nhân (có đáp án)

90 bài tập về phản ứng hạt nhân (có đáp án)

80 bài tập về phản ứng phân hạch. phản ứng nhiệt hạch (có đáp án)

80 bài tập về hiện tượng quang điện. thuyết lượng tử ánh sáng (có đáp án)

80 bài tập về giao thoa ánh sáng (có đáp án)