Lý thuyết Toán 11 Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục (Chân trời sáng tạo)

Lý thuyết Toán 11 Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

I. Lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Giới hạn 0 của dãy số

Ta nói (u_n) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| nhỏ hơn một số dương bé tùy ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$  hay $u_n\to 0$  khi $n\to +\infty$

Một vài giới hạn đặc biệt:

• $\lim \frac{1}{n^k}=0$ , với k nguyên dương bất kì.

• lim qⁿ = 0, với q là số thực thỏa mãn |q| < 1.

1.2. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số có giới hạn hữu hạn là số a (hay u_n dần tới a) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (u_n – a) = 0.

Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$  hay lim u_n = a khi n → +∞.

Chú ý: Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $\lim u_n=\lim c=c$

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho lim u_n = a, lim v_n = b và c là hằng số. Khi đó:

• lim (u_n + v_n) = a + b                        

• lim (u_n – v_n) = a – b

• lim (c.u_n) = c . a                               

• lim (u_n.u_n) = a . b

•  $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}\text{\hspace{0.33em}(}\left(b\ne 0\right)$ )                         

• Nếu $u_n\ge 0,\forall n\in \mathbb{N}\text{*}$  thì $a\ge 0$  và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q thõa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cấp số nhân lùi vô hạn nàu có tổng là:

$S=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n+\mathrm{...}=\frac{u_1}{1-q}$.

4. Giới hạn vô cực

• Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = + ∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

• Dãy số (u_n) có giới hạn là −∞ khi n → +∞, nếu lim u_n = + ∞.

Kí hiệu: lim u_n = − ∞ hay u_n → −∞ khi n → +∞.

Chú ý:

• lim u_n = + ∞ ⇔ lim (−u_n) = − ∞;

• Nếu lim u_n = + ∞ hoặc lim u_n = − ∞ thì $\lim \frac{1}{u_n}=0$ ;

• Nếu lim u_n = 0 và u_n > 0 với mọi n thì $\lim \frac{1}{u_n}=+\infty$ .

Nhận xét:

• $\lim n^k=+\infty$ ($k\in \mathbb{N},k\ge 1$);

• $\lim q^n=+\infty$(q > 1).

5. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho điểm x₀ thuộc K và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K \ {x₀} và x_n → x₀, thì f(x_n) → L.

Kí hiệu:  hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét:

• $\underset{x\to x_0}{\lim }x=x_0$ ;

• $\underset{x\to x_0}{\lim }c=c$  (c là hằng số).

6. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Cho $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L và  $\underset{x\to x_0}{\lim }$g(x) = M. Khi đó:

• $\underset{x\to x_0}{\lim }$[ f(x) + g(x)] = L + M

• $\underset{x\to x_0}{\lim }$[ f(x) - g(x)] = L - M

• $\underset{x\to x_0}{\lim }$[ f(x) . g(x)] = L . M

$\underset{x\to x_0}{\lim }$$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}= \frac{L}{M}$(với M ≠ 0)

b) Nếu f(x) ≥ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L thì L ≥ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(\mathrm{(x)}\right)}=\sqrt{L}$

(Dấu của f (x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x ≠ x₀).

Nhận xét:

• $\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^k=x_0^k$ , k là số nguyên dương;

• $\underset{x\to x_0}{\lim }$[cf(x) = c $\underset{x\to x_0}{\lim }$ f(x)  ( $c\in ℝ$, nếu tồn tại $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) $\in \mathrm{ℝ}$) .

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b).

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, thì f(x_n) → +∞.

Kí hiệu: $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x) = +∞ hay f(x) → +∞ khi $x\to x_0^{+}$ .

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là −∞ khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x → x₀, thì f(x_n) → −∞..

Kí hiệu: $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x) = −∞  hay f(x) → -∞  khi $x\to x_0^{+}$ .

Chú ý:

a) Các giới hạn  $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$f(x) = +∞, $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$ f(x) = -∞,  $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = +∞, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = -∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = +∞,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = -∞ được định nghĩa tương tự như trên.

b) Ta có các giới hạn thường dùng sau:

• $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{1}{x-a}=+\infty$  và $\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{1}{x-a}=-\infty \text{\hspace{0.33em}(}\left(a\in ℝ\right)$) ;

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$  với k là nguyên dương;

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$  nếu k là số nguyên dương chẵn;

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=-\infty$  nếu k là số nguyên dương lẻ.

c) Các phép toán trên giới hạn hàm số của Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.

Nếu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x) = $L\ne 0$  và $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$g(x) = +∞ (hoặc $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$g(x) = -∞ )  thì $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$[(f(x) . g(x)]  được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay $x_0^{+}$  thành $x_0^{-}$  (hoặc +∞, −∞).

8. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ $\in$ K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu$\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = f(x₀) .

Nhận xét: Để hàm số y = f(x) liên tục tại x₀ thì phải có cả ba điều sau:

• Hàm số xác định tại x₀;

• Tồn tại $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) ;

• $\underset{x\to x_0}{\lim }$ f(x) = f(x₀) .

Chú ý: Khi hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x₀ thì ta nói f (x) gián đoạn tại điểm  x₀ và x₀ được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f (x).

9. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b).

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b].

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và $\underset{x\to a^{+}}{\lim }$f(x) = f(a), $\underset{x\to b^{-}}{\lim }$f(x) = f(b).

Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c $\in$ (a; b) sao cho f (c) = 0.

10. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

• Hàm số đa thức y = P (x)  , các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.

• Hàm số phân thức y = $\frac{P \left(x\right)}{Q \left(x\right)}$, hàm số căn thức y = $\sqrt{P\left(x\right)}$, các hàm số lượng giác $y=\tan x,y=\cot x$  liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.

Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.

Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.

Sau đây, khi nói xét tính liên tục của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính liên tục của hàm số đó trên những khoảng xác định của nó.

11. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Cho hai hàm số số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

• Các hàm số y = f(x) + g(x); y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x₀.

• Hàm số y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

II. Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 3

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2n+6}{n-3}$ ;

b) $\lim \frac{n^3-n+3}{1-2n^3}$ ;

c) $\lim \frac{3^n-4^n+2}{3.4^n-5.2^n}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\lim \frac{2n+6}{n-3}=\lim \frac{2+\frac{6}{n}}{1-\frac{3}{n}}=2$ ;

b) $\lim \frac{n^3-n+3}{1-2n^3}=\lim \frac{1-\frac{n}{n^3}+\frac{3}{n^3}}{\frac{1}{n^3}-2}=\lim \frac{1-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{\frac{1}{n^3}-2}=\frac{-1}{2}$ ;

Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là $\frac{-3}{5}$  và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Hướng dẫn giải

Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u₁ = 1.

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: 

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:   và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là $S=\frac{5}{8}$ .

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \left(2n^3+n^2-4n-13\right)$ ;

b) $\lim \left(4.2^n-2.3^n+13n\right)$ .

Hướng dẫn giải

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x-4}-x}{x^2-4}$ ;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{3x-2}-x}{\sqrt{3x+1}-2}$ .

Hướng dẫn giải

Bài 5. Tìm các giới hạn sau:

a) A = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$x($\sqrt{4x^2+9}-2x$);

b) B = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$($\sqrt{x^2-2x+2}-x$).

Hướng dẫn giải

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{2}{-x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}-1}=+\infty$

Bài 6. Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm số f(x) = $\sin \frac{1}{x}$ khi x tiến tới 0.

Hướng dẫn giải

Xét hai dãy số $x_n=\frac{1}{2n\pi };y_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }$

Suy ra  $\lim x_n=\lim \frac{1}{2n\pi }=\frac{1}{2\pi }\lim \frac{1}{n}=\frac{1}{2\pi }.0=0$

Và $\lim y_n=\lim \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi \lim n}=0$

Khi đó ta xét:

• lim f($x_n$) = limsin ($2n\pi$) = 0;

• lim f ($y_n$) = limsin ($\frac{\pi }{2}+2n\pi$) = 1.

Do lim f($x_n$) $\ne$ lim f ($y_n$) (0 $\ne$ 1) nên hàm số f(x) = $\sin \frac{1}{x}$  không tồn tại giới hạn khi x tiến tới 0.

Bài 1. Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Xét trường hợp x ≠ 1, hàm số có dạng f(x) = $\frac{x^2-3x+2}{x-1}$, là hàm số phân thức trên tập xác định (–∞; 1) ∪ (1; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (–∞; 1) và (1; +∞).

Xét trường hợp x = 1, ta có:

• f(1) = 2m. 1+1= 2m +1

Khi đó, để hàm f (x) liên tục tại điểm x₀ = 1 thì:

$\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = f(1)$\iff$2m+1= -1$\iff$m = - 1

Vậy m = −1 là giá trị của tham số m cần tìm.

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm x = 3.

Hướng dẫn giải

Ta có:

• $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }$3 = 3

Do $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }$f(x) $\ne$ $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }$f(x) (3 $\ne$5) nên hàm số gián đoạn tại điểm x = 3.

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình 3x³ + x² – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

Hướng dẫn giải

Hàm số f(x) = 3x³ + x² – x – 1 là một hàm số đa thức, nên f (x) liên tục trên ℝ.

Suy ra, f (x) cũng liên tục trên đoạn [−1; 1].

Ta có:

• f(–1) = 3 . (–1)³ + (–1)² – (–1) – 1 = –3 + 1 + 1 – 1 = –2;

• f(1) = 3 . 1³ + 1² – 1 – 1 = 3 + 1 – 1 – 1 = 2.

Suy ra f(–1) . f(1) = (–2) . 2 = – 4 < 0.

Do vậy, có ít nhất một nghiệm c $\in$ (−1; 1) sao cho f (c) = 0.

Vậy phương trình 3x³ + x² – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

Lý thuyết Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song

Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song