Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số (Chân trời sáng tạo)

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

I. Lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho điểm x₀ thuộc K và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K \ {x₀} và x_n → x₀, thì f(x_n) → L.

Kí hiệu:  hay f(x) → L khi x → x₀.

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = $\frac{x^3-1}{x-1}$. Tìm $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ .

Hướng dẫn giải

Hàm số y = f(x) xác định trên ℝ \ {1}.

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn x_n ≠ 1 với mọi n và x_n → 1 khi n → +∞.

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=3$.

Nhận xét:

• $\underset{x\to x_0}{\lim }x=x_0$ ;

• $\underset{x\to x_0}{\lim }c=c$  (c là hằng số).

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Cho $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L và  $\underset{x\to x_0}{\lim }$g(x) = M. Khi đó:

• $\underset{x\to x_0}{\lim }$[ f(x) + g(x)] = L + M

• $\underset{x\to x_0}{\lim }$[ f(x) - g(x)] = L - M

• $\underset{x\to x_0}{\lim }$[ f(x) . g(x)] = L . M

b) Nếu f(x) ≥ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L thì L ≥ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(\mathrm{(x)}\right)}=\sqrt{L}$

(Dấu của f (x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x ≠ x₀).

Nhận xét:

• $\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^k=x_0^k$ , k là số nguyên dương;

• $\underset{x\to x_0}{\lim }$[cf(x) = c $\underset{x\to x_0}{\lim }$ f(x)  ( $c\in ℝ$, nếu tồn tại $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) $\in \mathrm{ℝ}$) .

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }2x^2+4x-5$ ;                          

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{2x+5}-3}{x-2}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{x\to -1}{\lim }2x^2+4x-5=\underset{x\to -1}{\lim }2x^2+\underset{x\to -1}{\lim }4x-\underset{x\to -1}{\lim }5$

$=2\underset{x\to -1}{\lim }{x}^2+4\underset{x\to -1}{\lim }x-\underset{x\to -1}{\lim }5=2.{\left(-1\right)}^2+4.\left(-1\right)-5=-7$.

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{2x+5}-3}{x-2}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2x+5}+3}$

$=\frac{2}{\sqrt{2.2+5}+3}=\frac{1}{3}$.

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b).

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, thì f(x_n) → +∞.

Kí hiệu: $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x) = +∞ hay f(x) → +∞ khi $x\to x_0^{+}$ .

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là −∞ khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x → x₀, thì f(x_n) → −∞..

Kí hiệu: $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x) = −∞  hay f(x) → -∞  khi $x\to x_0^{+}$ .

Chú ý:

a) Các giới hạn  $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$f(x) = +∞, $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$ f(x) = -∞,  $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = +∞, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = -∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = +∞,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = -∞ được định nghĩa tương tự như trên.

b) Ta có các giới hạn thường dùng sau:

• $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{1}{x-a}=+\infty$  và $\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{1}{x-a}=-\infty \text{\hspace{0.33em}(}\left(a\in ℝ\right)$) ;

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$  với k là nguyên dương;

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$  nếu k là số nguyên dương chẵn;

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=-\infty$  nếu k là số nguyên dương lẻ.

c) Các phép toán trên giới hạn hàm số của Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.

Nếu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x) = $L\ne 0$  và $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$g(x) = +∞ (hoặc $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$g(x) = -∞ )  thì $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$[(f(x) . g(x)]  được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay $x_0^{+}$  thành $x_0^{-}$  (hoặc +∞, −∞).

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{2-3x}{x+3}$ ;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }$($x^3+2$).

Hướng dẫn giải

II. Bài tập Giới hạn của hàm số

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x-4}-x}{x^2-4}$ ;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{3x-2}-x}{\sqrt{3x+1}-2}$ .

Hướng dẫn giải

Bài 2. Tìm các giới hạn sau:

a) A = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$x($\sqrt{4x^2+9}-2x$);

b) B = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$($\sqrt{x^2-2x+2}-x$).

Hướng dẫn giải

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{2}{-x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}-1}=+\infty$

Bài 3. Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm số f(x) = $\sin \frac{1}{x}$ khi x tiến tới 0.

Hướng dẫn giải

Xét hai dãy số $x_n=\frac{1}{2n\pi };y_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }$

Suy ra  $\lim x_n=\lim \frac{1}{2n\pi }=\frac{1}{2\pi }\lim \frac{1}{n}=\frac{1}{2\pi }.0=0$

Và $\lim y_n=\lim \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi \lim n}=0$

Khi đó ta xét:

• lim f($x_n$) = limsin ($2n\pi$) = 0;

• lim f ($y_n$) = limsin ($\frac{\pi }{2}+2n\pi$) = 1.

Do lim f($x_n$) $\ne$ lim f ($y_n$) (0 $\ne$ 1) nên hàm số f(x) = $\sin \frac{1}{x}$  không tồn tại giới hạn khi x tiến tới 0.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2

Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3

Lý thuyết Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian