Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (Chân trời sáng tạo)

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

I. Lý thuyết

1. Mặt phẳng trong không gian

Mặt phẳng là một đối tượng của toán học. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.

• Để biểu diễn mặt phẳng, ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.

• Để kí hiệu mặt phẳng, ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp trong dấu ngoặc để kí hiệu mặt phẳng.

Ví dụ:

a) Mặt phẳng (P)

b) Mặt phẳng (a)

Chú ý: Mặt phẳng (P) còn được viết tắt là mp(P) hoặc (P).

1.1. Điểm thuộc mặt phẳng

Cho điểm A và mặt phẳng (P).

• Nếu điểm A thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa A, hay (P) đi qua A.

Kí hiệu: A $\in$ (P)

• Nếu điểm A không thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói A nằm ngoài (P) hay (P) không chứa A.

Kí hiệu: A $\notin$ (P)

Ví dụ:

Ta thấy A $\in$ (P) và B ∉(P).

1.2. Biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng

Để biểu diễn một hình trong không gian lên một mặt phẳng (tờ giấy, mặt bảng, …), ta thường dựa vào các quy tắc sau:

• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

• Giữ nguyên tính liên thuộc (thuộc hay không thuộc) giữa điểm với đường thẳng hoặc với đoạn thẳng.

• Giữ nguyên tính song song, tính cắt nhau giữa các đường thẳng.

• Biểu diễn đường nhìn thấy bằng nét vẽ liền và biểu diễn đường bị các mặt phẳng che khuất bằng nét đứt đoạn.

Ví dụ: Biểu diễn của một hình hộp chữ nhật.

2. Các tính chất được thừa nhận của hình học không gian

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Ví dụ: Cho bốn điệm phân biệt A, B, C, D, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm đã cho?

Hướng dẫn giải

Do qua hai điểm phân biệt chỉ có một đường thẳng nên qua bốn điểm phân biệt không có điểm nào thằng hàng A, B, C, D, ta xác định được sáu đường thẳng là AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

Chú ý: Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được kí hiệu là (ABC)

Ví dụ: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A, B và điểm I không thuộc d. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, I?

Hướng dẫn giải

Do I không thuộc d nên ba điểm A, B, I không thẳng hàng. Do đó chỉ có một mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, I. Mặt phẳng đó được kí hiệu là (ABI).

Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Chú ý: Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) thường được kí hiệu là d $\subset$ (P) hoặc (P) $\supset$ d.

Ví dụ: Cho bốn đỉnh của tứ giác ABCD đều thuộc mặt phẳng (P). Hỏi các điểm nằm trên các đường chéo của tứ giác ABCD có thuộc mặt phẳng (P) không?

Hướng dẫn giải

Theo tính chất 3, với đường thẳng AC có hai điểm A, C thuộc mặt phẳng (P) nên mọi điểm thuộc đường chéo AC đều thuộc mặt phẳng (P).

Điều này hoàn toàn tương tự với đường chéo BD.

Vậy mọi điểm thuộc đường chéo của tứ giác ABCD đều thuộc mặt phẳng (P).

Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Ví dụ:

Ba điểm A, B, C đều cùng thuộc mặt phẳng (a) nhưng điểm D không thuộc mặt phẳng (a).

Chú ý: Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng.

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Ví dụ: Cho A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt ($\alpha$) và ($\beta$). Chứng minh A, B, C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Theo tính chất 5, với A là một điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt ($\alpha$) và ($\beta$) thì có một đường thẳng chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng.

Vậy nên có một đường thẳng chứa ba điểm A, B, C và theo tính chất 1 thì đường thẳng đó là duy nhất.

Vậy A, B, C thẳng hàng.

Chú ý: Đường thẳng d chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của (P) và Q).

 Kí hiệu: d = (P) $\cap$ (Q)

Tính chất 6: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.

Ví dụ: Cho hình hộp chứ nhật ABCD.EFGH. I và J lần lượt là tâm của ABFE và DCGH. Chứng minh IJ // AD.

Hướng dẫn giải

I và J lần lượt là tâm của hai hình chữ nhật ABFE và DCGH nên I và J lần lượt là trung điểm của AF và DG.

Xét hình chữ nhật ADGF có I và J lần lượt là trung điểm của AF và DG nên IJ là đường trung bình.

Hay IJ // AD // FG.

3. Cách xác định mặt phẳng

• Một mặt phẳng được xác đinh nếu biết nó chứ ba điểm không thẳng hàng.

Ví dụ:

Mặt phẳng (P) xác định bởi ba điểm không thẳng hàng là A, B, C.

Kí hiệu: mp(ABC) hay (ABC)

• Một mặt phẳng được xác định nếu nó chứa một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.

Ví dụ:

Mặt phẳng (P) xác định bởi đưởng thẳng (d) và điểm M không thuộc đường thẳng d.

Kí hiệu: mp(M, d) hay (M, d)

• Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ:

Mặt phẳng (P) xác định bởi hai đưởng thẳng cắt nhau (a) và (b).

Kí hiệu: mp(a, b)

4. Hình chóp và hình tứ diện

4.1. Hình chóp

Cho đa giác lồi A₁A₂…A_n nằm trong mặt phẳng ($\alpha$) và điểm S không thuộc mặt phẳng ($\alpha$).

Nối S với các đỉnh A₁, A₂…, A_n ta được n tam giác SA₁A₂, SA₂A₃, …SA_nA₁.

Hình tạo bởi n tam giác đó và đa giác A₁A₂…A_n được gọi là hình chóp.

Kí hiệu: S.A₁A₂…A_n

• Trong hình chóp S.A₁A₂…A_n, ta gọi:

− Điểm S là đỉnh

− Các tam giác SA₁A₂, SA₂A₃, …SA_nA₁ là các mặt bên

− Đa giác A₁A₂…A_n là mặt đáy

− Các đoạn thẳng giác SA₁, SA₂, …SA_n là các cạnh đáy

• Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi tên các mặt bên, mắt đáy, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Các mặt bên: SAB, SBC, SCD, SDA;

Mặt đáy: ABCD;

Các cạnh bên: SA, SB, SC, SD;

Các cạnh đáy: AB, BC, CD, DA.

4.2. Hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình tạo bởi bốn tam giác ABC, ACD, BCD được gọi là hình tứ diện (hay tứ diện).

Kí hiệu: ABCD

• Trong tứ diện ABCD, ta gọi:

−  Các điểm A, B, C, D là đỉnh

− Các đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, CD, BD là các cạnh của tứ diện

− Hai cạnh không đi qua cùng một đỉnh là hai cạnh đối diện

− Các tam giác ABC, ACD, ADB, BCD là các mặt của tứ diện

− Đỉnh không thuộc một mặt của tứ diện là đỉnh đối diện với mặt đó

Ví dụ: Gọi tên các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.

Hướng dẫn giải

Các cặp cạnh đối diện: AB và CD, AC và BD, AD và BC.

Chú ý:

• Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều.

• Một tứ diện có thể xem như là một hình chóp tam giác với đỉnh là một đỉnh tùy ý của tứ diện và đáy là mặt của tứ diện không chứa đỉnh đó.

II. Bài tập Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng:

a) (SAC) và (SBD);

b) (SAC) và (MBD).

Hướng dẫn giải

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Từ đó ta có O $\in$AC $\subset$ (SAC) và O $\in$ BD $\subset$ (SBD)

Suy ra: O $\in$ (SAC) $\cap$ (SBD)

Lại có: S $\in$ (SAC) $\cap$ (SBD)

Vì vậy SO = (SAC) $\cap$ (SBD).

b) O là giao điểm của AC và BD.

Từ đó ta có O $\in$ AC $\subset$ (SAC) và O $\in$ BD $\subset$ (MBD)

Suy ra: O $\in$ (SAC) $\cap$ (MBD)

Lại có: M $\in$ SA $\subset$ (SAC) và M $\in$ (MBD) nên suy ra M $\in$ (SAC) $\cap$ (MBD)

Do đó MO = (SAC) $\cap$ (MBD).

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SA, N trên AB. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (CMN).

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của CN và BD; J là giao điểm của CM và SO.

Ta có: I $\in$ BD $\subset$ (SBD) và J $\in$ SO $\subset$ (SBD)

Suy ra IJ $\subset$ (SBD) (1)

Lại có: I $\in$ CN $\subset$ (CMN) và J $\in$ CM $\subset$ (CMN)

Suy ra IJ $\subset$ (CMN) (2)

Từ (1) và (2) suy ra IJ = (CMN) $\cap$ (SBD)

Gọi K là giao điểm của IJ và SD

Khi đó K là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (CMN).

Bài 3. Cho tứ diện S.ABC. Trên SA, SB, SC lấy các điểm M, N, P sao cho MN cắt AB tại E, NP cắt BC tại F, PM cắt CA tại G. Chứng minh E, F, G thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Ta có:

E = MN $\cap$ AB mà MN $\subset$ (MNP) $\Rightarrow$ E $\in$ (MNP)

Lại có:

E = MN $\cap$ AB mà AB $\subset$ (ABC) $\Rightarrow$ E $\in$(ABC)

Tương tự ta có:

F = NP $\cap$ BC $\Rightarrow$ F $\in$ (MNP) và F $\in$ (ABC)

G = PM $\cap$ CA $\Rightarrow$ G $\in$ (MNP) và G $\in$ (ABC)

Do đó E, F, G là các điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (MNP) nên chũng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Vậy E, F, G thẳng hàng.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song

Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song