Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song (Chân trời sáng tạo)

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song

I.Lý thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

- Trường hợp 1. Có một mặt phẳng chứa a và b.

Khi đó, ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng có 3 khả năng xảy ra:

• Nếu a và b có hai điểm chung thì ta nói a trùng b.

Kí hiệu: a $\equiv$ b

• Nếu a và b có một điểm chung duy nhất M thì ta nói a và b cắt nhau tại M.

Kí hiệu: a $\cap$ b = M

• Nếu a và b không có điểm chung thì ta nói a và b song song với nhau.

Kí hiệu: a // b

- Trường hợp 2. Không có mặt phẳng nào chứa a và b.

Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b.

Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.

Chú ý:

• Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

• Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.

Kí hiệu: mp(a, b)

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng AB và CD chéo nhau.

Đường thẳng AC và BD chéo nhau.

Đường thẳng AD và BC chéo nhau.

2. Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song

Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Vẽ hình bình hành SMBA. Gọi d là đường thẳng đi qua S và song song với AB. Chứng minh M nằm trên đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Ta có: SMBA là hình bình hành, suy ra SM // AB.

Do trong không gian, chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua S và song song với AB, suy ra SM phải trùng d.

Vậy điểm S thuộc đường thẳng d.

Định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau tại ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Tìm ba mặt phẳng có ba giao tuyến đồng quy.

Hướng dẫn giải

Ba mặt phẳng (ABC), (ACD) và (ADB) đôi một cắt nhau tại ba giao tuyến phân biệt AC, AD và AD.

Ba giao tuyến trên đồng quy tại điểm A.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SAB)

Hướng dẫn giải

Ta có: M $\in$ (SAB) $\cap$ (MCD)

AB $\subset$ (SAB) và CD $\subset$ (MCD)

Và AB // CD

Suy ra (SAB) $\cap$ (MCD) = Md, với Md // AB // CD.

Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Chú ý: Khi hai đường thẳng phân biệt a, b cùng song song với đường thằng c thì ta có thể kí hiệu là a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng MN // AB, từ đó suy ra MN // CD.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác SAB có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB.

Từ đó suy ra MN // AB.

Lại có AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) nên từ đó ta có MN // CD (vì cùng song song với đường thẳng AB).

II. Bài tập Hai đường thẳng song song

Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB và CD là hai đường chéo nhau.

Hướng dẫn giải

Do ABCD là một tứ diện đều nên bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc mặt phẳng hay bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Từ đó suy ra hai đường thẳng AB và CD không đồng phẳng.

Vậy AB và CD chéo nhau.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA. Gọi a là giao tuyến của (SAB) và (SCD); b là giao tuyến của (SAB) và (MCD). Chứng minh: a // b.

Hướng dẫn giải

Ta có: S $\in$ (SAB) $\cap$ (SCD)

AB $\subset$ (SAB) và CD $\subset$ (SCD)

Và AB // CD

Suy ra (SAB) $\cap$ (SCD) = a, với a // AB // CD (1)

Lại có: M $\in$ (SAB) $\cap$ (MCD)

AB$\subset$ (SAB) và CD $\subset$ (MCD)

Và AB // CD

Suy ra (SAB) $\cap$ (MCD) = b, với b // AB // CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra a // b (Cùng song song với AB và CD).

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên BD lấy điểm E bất kì. Qua E, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt CD tại F. Tứ giác MNFE là hình gì?

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABD có M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AD

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABD

Do đó MN // BD

Lại có theo bài ra: EF // BD

Vậy suy ra MN // EF (cùng song song với cạnh BD)

Khi đó tứ giác MNFE là hình thang.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3

Lý thuyết Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 5: Phép chiếu song song