Lý thuyết Toán 11 Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân (Cánh diều)

Lý thuyết Toán 11 Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

1. Dãy số

1.1. Khái niệm

Khái niệm dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u: {1; 2; 3; …; m} → ℝ (m ∈ ℕ^*) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương k (1 ≤ k ≤ m) tương ứng với đúng một số u_k nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃, …., u_m.

– Số u₁ gọi là số hạng đầu, số u_m gọi là số hạng cuối của dãy số đó.

Khái niệm dãy số vô hạn: Mỗi hàm số u: ℕ^* → ℝ được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số u_n nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃, …., u_n, ...

– Dãy số đó còn được viết tắt là (u_n).

– Số u₁ gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số u₂ gọi là số hạng thứ hai, …, số u_n gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau.

1.2. Cách cho một dãy số

Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau:

– Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).

– Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

– Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

– Cho bằng phương pháp truy hồi.

1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm

– Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay giảm. Chẳng hạn, dãy số (u_n) với (u_n) = (–1)ⁿ có dạng khai triển –1, 1, –1, 1, –1, … không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

1.4. Dãy số bị chặn

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao m ≤ u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

2. Cấp số cộng

2.1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

u_n = u_{n – 1} + d với n ≥ 2.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Chú ý:

– Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

– Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n ≥ 2, ta có: u_n – u_{n – 1} = d.

2.2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu là u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2.

Nhận xét: Với d ≠ 0, từ công thức u_n = u₁ + (n – 1)d, ta có $n=\frac{u_n-u_1}{d}+1$ với n ≥ 2.

2.3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d. Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n.

Khi đó:

Nhận xét: Do u_n = u₁ + (n – 1)d nên u₁ + u_n = 2u₁ + (n – 1)d.

Suy ra 

3. Cấp số nhân

3.1. Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, tức là: u_n = u_{n – 1}.q với n ≥ 2.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý:

– Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.

– Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q và u_n ≠ 0 với mọi n ≥ 1 thì với số tự nhiên n ≥ 2, ta có: $\frac{u_n}{u_{n-1}}=q$.

3.2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu là u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n = u₁. q^{n – 1}  với n ≥ 2.

3.3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ và công bội q ≠ 1.

Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n. Khi đó:

Chú ý: Nếu q = 1 thì S_n = nu₁.

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 2

Bài 1. Cho dãy số (u_n) với u_n = (–1)ⁿ.2n.

a) Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy;

b) Viết dạng khai triển của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Sáu số hạng đầu của dãy là:

u₁ = –2; u₂ = 4; u₃ = –6; u₄ = 8; u₅ = –10; u₆ = 12.

b) Dạng khai triển của dãy (u_n) là: –2, 4, –6, 8, …., (–1)ⁿ.2n, ….

Bài 2. Chứng minh rằng dãy số (u_n) với $u_n=\frac{4}{3}-n^2$ là dãy số giảm và bị chặn trên.

Hướng dẫn giải

• Ta có:

Vì n ∈ ℕ* nên 2n + 1 ≥ 3

Suy ra  –(2n + 1) ≤ –3 < 0

Do đó u_n+1 < u_n, suy ra dãy số là dãy số giảm.

• Vì n² ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ* nên –n² ≤ –1

Suy ra $\frac{4}{3}-n^2\le \frac{1}{3}$

Hay $u_n\le \frac{1}{3}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó dãy số (u_n) là dãy số bị chặn trên.

Bài 3. Hãy nêu cách xác định mỗi dãy số sau:

a) Cho dãy số (u_n) với u_n là các số chính phương được sắp xếp từ bé đến lớn (1)

b) Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n}{n^2+1}$(2)

c)  Cho dãy số (u_n) với  u₁ = –1, u_n = 2u_{n – 1} + 3 (với n > 1) (3)

Hướng dẫn giải

a) Dãy số (1) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

b) Dãy số (2) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số.

c) Dãy (3) được xác định bằng phương pháp truy hồi.

Bài 4. Cho dãy số (u_n) với u_n = 5 – 3n.

a) Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số cộng. Chỉ rõ u₁ và d.

b) Tìm tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = [5 – 3(n + 1)] – (5 – 3n) = –3.

Do đó u_{n + 1} = u_n + (–3)

Suy ra dãy số (u_n) là cấp số cộng; u₁ = 5 – 3.1 = 2; công sai d = –3.

b) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

.

Bài 5. Cho cấp số cộng có u₁ = 3; công sai d = 4.

a) Viết công thức của số hạng tổng quát u_n.

b) Số 155 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Tính tổng 200 số hạng đầu của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Ta có công thức của số hạng tổng quát u_n là:

u_n = u₁ + (n – 1).d = 3 + (n – 1).4 = 4n – 1.

Vậy u_n = 4n – 1.

b) Giả sử 155 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có:

$n=\frac{u_n-u_1}{d}+1=\frac{155-3}{4}+1=39$.

Vậy 155 là số hạng thứ 39 của cấp số cộng.

c) Tổng 200 số hạng đầu của dãy là:

.

Vậy tổng 200 số hạng đầu của dãy là S₂₀₀ = 80200.

Bài 6. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) –2, 4, –8, 16, –32, 64, –128, 256.

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Hướng dẫn giải

a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp –2 lần số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy –2, 4, –8, 16, –32, 64, –128, 256 là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = –2 và công bội q = –2.

b) Ta có $\frac{4}{1}\ne \frac{9}{4}$ nên dãy 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 không phải là cấp số nhân.

Bài 7. Cho dãy số (u_n) có u_n = (–1)ⁿ⁺¹ . 3²ⁿ⁺¹. Chứng minh dãy (u_n) là một cấp số nhân. Chỉ rõ u₁ và công bội q.

Hướng dẫn giải

Ta xét tỉ số:

.

Suy ra dãy số (u_n) là một cấp số nhân có công bội q = –9 và u₁ = (–1)¹⁺¹ . 3^2.1+1 = 27.

Vậy u₁ = 27 và q = –9.

Bài 8. Cho cấp số nhân (u_n) có u₅ = 8 và u₁₁ = 512.

a) Tính số hạng đầu u₁ và công bội q của cấp số nhân (biết công bội q > 0).

b) Tính u₂₀ và S₂₀.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 

Do q > 0 nên $\frac{u_{11}}{u_5}=\frac{u_1.q^{10}}{u_1.q^4}=q^6=64\Rightarrow q=2$ (do q > 0).

Thay q = 2 trở lại hệ ta được u₁ = $\frac{1}{2}$.

Vậy cấp số nhân đã cho có u₁ = $\frac{1}{2}$ và q = 2.

b) Ta có u₂₀ = u₁.q^{20 – 1} = u₁.q¹⁹ = $\frac{1}{2}{.2}^{19}=2^{18}=262144$.

.

Vậy u₂₀ = 262144 và $S_{20}=\frac{1048575}{2}$.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục