Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục (Cánh diều)

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

1. Khái niệm

1.1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ ∈ (a; b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu .

Nhận xét: Hàm số y = f(x) không liên tục tại x₀ được gọi là gián đoạn tại x₀.

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x² + 2 tại x₀ = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: .

           f(1) = 1² + 2 = 3.

Suy ra .

Vậy hàm số f(x) = x² + 2 liên tục tại x₀ = 1.

1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

– Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

– Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu hàm số liên tục trên khoảng (a; b) và .

Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng (a; b], [a; b), (a; +∞), [a; +∞), (–∞; a), (–∞; a], (–∞;+∞) được định nghĩa tương tự.

Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.

Ví dụ 2. Hàm số y = x² + 2x + 1 có liên tục trên đoạn [1; 3] hay không?

Hướng dẫn giải

Với mỗi x₀ ∈ (1; 3), ta có 

Ta lại có: .

.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn [1; 3].

2. Một số định lí cơ bản

2.1. Tính liên tục của một số hàm số sơ cấp cơ bản

– Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx liên tục trên ℝ.

– Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y = tanx, y = cotx liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

– Hàm căn thức $y=\sqrt{x}$ liên tục trên nửa khoảng [0; +∞).

Ví dụ 3. Hàm số  có liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 2) và (2; +∞) hay không?

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số  là D = (–∞; 2) ∪ (2; +∞).

Vậy hàm số  liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).

2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại x₀;

b) Hàm số  liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

Ví dụ 4. Cho hàm số .

a) Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2.

b) Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên tập xác định của hàm số đó.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D = ℝ\{5}.

a) Ta có:

Vậy f(x) liên tục tại x = 2.

b) Đặt g(x) = x² – 4; .

Ta có  là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên mỗi khoảng xác định (–∞; 5) và (5; +∞).

Hàm g(x) = x² – 4 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ. Do đó hàm số g(x) liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 5) và (5; +∞).

Vậy hàm số f(x) = g(x) + h(x) liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 5) và (5; +∞).

Bài tập Hàm số liên tục

Bài 1. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = x³ + 2x – 1 tại x₀ = –1.

Hướng dẫn giải

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x₀ = –1.

Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:

a) f(x) = x + sinx;

.

Hướng dẫn giải

a) Hàm số f(x) có tập xác định là ℝ.

Hai hàm số x và sinx liên tục trên ℝ nên hàm số f(x) = x + sinx liên tục trên ℝ.

b) Hàm số  có tập xác định là ℝ\{2}.

Do đó hàm số  liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).

c) Hàm số h(x) có tập xác định là ℝ.

Vì tử thức cosx liên tục ℝ và mẫu thức x² + 1 ≠ 0 liên tục trên ℝ.

Vậy h(x) liên tục trên ℝ.

Bài 3. Xét tính liêm tục của hàm số   trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải

Hàm số có TXĐ: D = ℝ.

Hàm số liên tục trên mỗi khoảng (–∞; –1); (–1; 0)  và (0; +∞).

• Tại x = –1, ta có:

⇒ Hàm số f(x) liên tục tại x = –1.

• Tại x = 0, ta có:

⇒ Hàm số f(x) liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ ℝ.

Bài 4. Tìm giá trị của tham số m để hàm số  liên tục trên đoạn [0; 2].

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên [0; 2] và liên tục trên [0; 2).

Khi đó để f(x) liên tục trên đoạn [0; 2] thì hàm số liên tục tại x = 2.

Tức là ta cần có: 

Ta có:     

Do đó (*) xảy ra khi và chỉ khi .

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3

Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian