Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng (Cánh diều)

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

u_n = u_{n – 1} + d với n ≥ 2.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Chú ý:

– Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

– Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n ≥ 2, ta có: u_n – u_{n – 1} = d.

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng (u_n)  với u₁ = 2, công sai d = 3. Hãy viết ba số hạng đầu của cấp số cộng đó.

Hướng dẫn giải

Ba số hạng đầu của (u_n) là u₁ = 2; u₂ = u₁ + 3 = 2 + 3 = 5; u₃ = u₂ + 3 = 5 + 3 = 8.

Vậy u₁ = 2; u₂ = 5; u₃ = 8.

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu là u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2.

Nhận xét: Với d ≠ 0, từ công thức u_n = u₁ + (n – 1)d, ta có $n=\frac{u_n-u_1}{d}+1$ với n ≥ 2.

Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (u_n) với u₁ = –1 và công sai d = 4.

a) Tính u₅.

b) Số 35 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng (u_n)?

Hướng dẫn giải

a) Theo công thức tổng quát của cấp số cộng ta có:

u₅ = u₁ + (5 – 1)d = –1 + 4.4 = 15.

Vậy u₅ = 15.

b) Giả sử 35 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có:

$n=\frac{u_n-u_1}{d}+1=\frac{35+1}{4}+1=10$.

Vậy 35 là số hạng thứ 10 của cấp số cộng.

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d. Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n.

Khi đó:

Nhận xét: Do u_n = u₁ + (n – 1)d nên u₁ + u_n = 2u₁ + (n – 1)d.

Suy ra 

Ví dụ 3. Hãy tính tổng S = –1+ 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27.

Hướng dẫn giải

Ta thấy dãy số  –1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 là cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = –1, công sai d = 4 và số hạng cuối là u₈ = 27, nên số các số hạng của cấp số cộng là 8.

Do đó .

Vậy S₈ = 104.

Bài tập Cấp số cộng

Bài 1. Cho dãy số (u_n) với u_n = 5 – 3n.

a) Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số cộng. Chỉ rõ u₁ và d.

b) Tìm tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = [5 – 3(n + 1)] – (5 – 3n) = –3.

Do đó u_{n + 1} = u_n + (–3)

Suy ra dãy số (u_n) là cấp số cộng; u₁ = 5 – 3.1 = 2; công sai d = –3.

b) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

.

Bài 2. Cho cấp số cộng có u₁ = 3; công sai d = 4.

a) Viết công thức của số hạng tổng quát u_n.

b) Số 155 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Tính tổng 200 số hạng đầu của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Ta có công thức của số hạng tổng quát u_n là:

u_n = u₁ + (n – 1).d = 3 + (n – 1).4 = 4n – 1.

Vậy u_n = 4n – 1.

b) Giả sử 155 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có:

$n=\frac{u_n-u_1}{d}+1=\frac{155-3}{4}+1=39$.

Vậy 155 là số hạng thứ 39 của cấp số cộng.

c) Tổng 200 số hạng đầu của dãy là:

.

Vậy tổng 200 số hạng đầu của dãy là S₂₀₀ = 80200.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 1

Lý thuyết Bài 1: Dãy số

Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2

Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số