Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt
Trong mục này, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả sử hai đường thẳng là phân biệt.
Cho hai đường thẳng a và b phân biệt trong không gian. Khi đó chỉ xảy ra một trong các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng (Hình 11a).
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau, hay a chéo với b (Hình 11b).
Khi hai đường thẳng a và b (phân biệt) đồng phẳng, có hai khả năng xảy ra:
⦁ a và b có một điểm chung duy nhất I. Ta nói a và b cắt nhau tại I và kí hiệu là a ∩ b = {I}. Ta còn có thể viết a ∩ b = I (Hình 12a).
⦁ a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a // b (Hình 12b).
Khái niệm hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Lưu ý: Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, kí hiệu là mp(a, b).
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AB. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
a) AB và CD.
b) AD và BC.
c) SA và CD.
Hướng dẫn giải
a) Do tứ giác ABCD là hình thang có đáy lớn là AB nên AB // CD.
b) Do ABCD là hình thang có đáy lớn là AB nên hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại I.
c) Ta có A là giao điểm của đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
Do đó S không thuộc mặt phẳng (ABCD).
Suy ra bốn điểm S, A, C, D không đồng phẳng.
Vậy hai đường thẳng SA và CD chéo nhau.
2. Tính chất
Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Tức là, trong không gian, cho điểm M và đường thẳng d không đi qua M. Có một và chỉ một đường thẳng d’ đi qua điểm M và song song với đường thẳng d.
Định lí 2: (về giao tuyến của ba mặt phẳng)
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song với nhau.
Tức là, trong không gian, cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, trong đó a = (P) ∩ (R), b = (R) ∩ (Q), c = (Q) ∩ (P).
Khi đó ta có hai khả năng xảy ra như sau:
Trường hợp 1: Ba giao tuyến a, b, c đồng quy tại M (Hình 13a).
Trường hợp 2: Ba giao tuyến a, b, c song song với nhau (Hình 13b).
Từ Định lí 2, ta suy ra hệ quả sau:
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó (Hình 14).
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Trên cạnh BD lấy điểm P sao cho DP = 2PB.
a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).
b) Đường thẳng d cắt AD tại Q. Chứng minh ba đường thẳng DC, QN, PM đồng quy.
Hướng dẫn giải
a) Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó MN // AB.
Lại có P đều thuộc hai mặt phẳng (MNP) và (ABD); MN ⊂ (MNP) và AB ⊂ (ABD).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng d đi qua P và d // MN // AB.
b) Ta có N ∈ AC và N ∈ MN.
Mà AC ⊂ (ACD) và MN ⊂ (MNP).
Suy ra N cùng thuộc hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).
Chứng minh tương tự, ta được Q cùng thuộc hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).
Do đó NQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP) (1)
Chứng minh tương tự, ta có MP là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (MNP) (2)
Lại có CD là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) (3)
Trong (BCD): gọi I là giao điểm của MP và CD.
Vậy ba đường thẳng DC, QN, PM đồng quy tại I.
Định lí 3: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với đường thẳng c, ta kí hiệu a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, CD, SA, SD. Chứng minh MN // PQ và MP = QN.
Hướng dẫn giải
Tam giác ACD có M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ACD.
Do đó MN // AD và .
Chứng minh tương tự, ta được PQ // AD và .
Vì vậy MN // PQ // AD và MN = PQ.
Do đó tứ giác MNQP là hình bình hành.
Vậy MN // PQ và MP = QN.
Bài tập Hai đường thẳng song song trong không gian
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP và NQ.
Hướng dẫn giải
Ta có N = AB ∩ NQ.
Suy ra N là giao điểm của đường thẳng NQ và mặt phẳng (ABP).
Do đó Q không thuộc mặt phẳng (ABP).
Mà M, N, P đều thuộc mặt phẳng (ABP).
Suy ra bốn điểm M, N, P, Q không đồng phẳng.
Vậy hai đường thẳng MP và NQ chéo nhau.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng IJ // EF.
Hướng dẫn giải
Tam giác SCD có E, F lần lượt là trung điểm của SC, SD.
Suy ra EF là đường trung bình của tam giác SCD.
Do đó EF // CD.
Chứng minh tương tự, ta được IJ // AB.
Mà AB // CD (do tứ giác ABCD là hình bình hành).
Suy ra IJ // CD.
Vậy EF // IJ // CD.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB, đáy nhỏ CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (AND). Gọi I là giao điểm của AN và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì?
Hướng dẫn giải
Trong (ABCD): gọi E = AD ∩ BC.
Mà AD ⊂ (AND) và BC ⊂ (SBC).
Suy ra E ∈ (AND) và E ∈ (SBC).
Trong (SBC): gọi P = SC ∩ NE.
Mà NE ⊂ (AND).
Vì vậy P là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (AND).
Ta có I = AN ∩ DP.
Mà AN ⊂ (SAB) và DP ⊂ (SCD).
Suy ra I cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Mà S cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó SI = (SAB) ∩ (SCD).
Lại có AB = (SAB) ∩ (ABCD) và CD = (SCD) ∩ (ABCD).
Mà trong (ABCD), ta lại có AB // CD (do ABCD là hình thang với đáy lớn AB, đáy nhỏ CD).
Do đó SI // AB // CD.
Tam giác SAB có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác SAB.
Do đó MN // AB.
Vì vậy MN // SI (do AB // SI).
Mà N là trung điểm SA.
Do đó M là trung điểm AI.
Tứ giác SABI có hai đường chéo SB và AI cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
Vậy tứ giác SABI là hình bình hành.
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3
Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Lý thuyết Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp
