Lý thuyết Toán 11 Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân (Chân trời sáng tạo)

Lý thuyết Toán 11 Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

I. Lý thuyết

1. Dãy số là gì?

1.1. Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ* được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số), nghĩa là

- Ta có thể kí hiệu dãy số trên là (u_n), và (u_n) được viết dưới dạng khai triển là: u₁, u₂, u₃,...., u_n,....

- Số u₁ được gọi là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý:

• Số u₁ = u(1) được gọi là số hạng đầu, u_n = u(n) là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.

• Nếu ∀n ∈ ℕ*, u_n = C thì (u_n) được gọi là dãy số không đổi.

1.2. Dãy số hữu hạn

- Hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3; ...; m} với ∀m ∈ ℕ* được gọi là một dãy số hữu hạn.

- Dãy số hữu hạn được khai triển dưới dạng u₁, u₂, u₃,...., u_m. Trong đó, u₁ được gọi là số hạng đầu, u_m được gọi là số hạng cuối.

2. Cách xác định dãy số

Một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:

Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn).

Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát u_n.

Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là:

• Cho số hạng thứ nhất u₁ (hoặc một vài số hạng đầu tiên).

• Cho một công thức tính un theo u_{n – 1} (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

Cách 4: Cho bằng cách mô tả.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số (u_n) là dãy số tăng nếu u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ*.

- Dãy số (u_n) là dãy số giảm nếu u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ ℕ*.

4. Dãy số bị chặn

- Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

u_n ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.

- Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho

u_n ≥ M, ∀n ∈ ℕ*.

- Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số m và M sao cho

M ≤ u_n ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.

 5. Cấp số cộng

- Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là:

u_{n + 1} = u_n + d với n ∈ ℕ*.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

6. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Định lí 1: Nếu một cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d, n ≥ 2.

7. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Định lí 2: Giả sử (u_n) là một cấp số cộng có công sai d. Đặt S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n, khi đó

8. Cấp số nhân

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là:

u_{n + 1} = u_n . q với n ∈ ℕ*.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

9. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Định lí 1: Nếu một cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ . q^{n – 1}, n ≥ 2.

10. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Định lí 2: Giả sử (u_n) là một cấp số nhân có công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n, khi đó:

Chú ý: Khi q = 1 thì S_n = n . u₁.

II. Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 2

Bài 1. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi $u_n=\frac{n+1}{2^n}$ với n ∈ ℕ*.

a) Liệt kê 3 số hạng đầu của dãy số (u_n).

b) Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $u_1=\frac{1+1}{2^1}=1,u_2=\frac{2+1}{2^2}=\frac{3}{4},u_3=\frac{3+1}{2^3}=\frac{1}{2}.$

b) Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{\left(\mathrm{(n}+\mathrm{1)}\right)+1}{2^{n+1}}-\frac{n+1}{2^n}$

$=\frac{n+2}{{2.2}^n}-\frac{n+1}{2^n}=\frac{n+2-2n-2}{{2.2}^n}=\frac{-n}{2^{n+1}}<0$

⇔ u_{n + 1} < u_n.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Bài 2. Xét tính bị chặn của dãy số sau: u_n = 4 – 3n – n².

Hướng dẫn giải

Ta có: u_{n + 1} – u_n = 4 – 3(n + 1) – (n + 1)² – (4 – 3n – n²)

= 4 – 3n – 3 – n² – 2n – 1 – 4 + 3n + n²

= − 2n − 4

⇔ u_{n + 1} < u_n.

⇒ (u_n) là dãy số giảm, tức là n càng tăng thì u_n càng giảm ⇒ (u_n) không bị chặn dưới.

Vậy (u_n) là dãy số bị chặn trên.

Bài 3. Cho dãy số (u_n) bởi hệ thức truy hồi: $u_1=\frac{1}{2},u_{n+1}=2u_n.$ Tìm ra công thức số hạng tổng quát của dãy số này.

Hướng dẫn giải

Ta có: $u_1=\frac{1}{2}=2^{-1};u_2=1=2^0;u_3=2=2^1;u_4=4=2^2.$

Ta nhận thấy u₁ = 2^{1 – 2}; u₂ = 2^{2 – 2}; u₃ = 2^{3 – 2}; u₄ = 2^{4 – 2}.

Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là u_n = 2^{n – 2}.

Bài 4. Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{n+1}{2n+1}.$ Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 8;                               

B. 6;                                

C. 5;                                

D. 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta cần tìm n sao cho $u_n=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}\iff 15n+15=16n+8\iff n=7.$

Bài 5. Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 321 và u_{n + 1} = u_n – 3, ∀n ∈ ℕ*. Số 99 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số?

A. 72;

B. 73;

C. 74;

D. 75.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: u_{n + 1} = u_n – 3 ⇒ u_{n + 1} − u_n = −3 ⇒ d = −3.

u_n = u₁ + (n – 1)d = 321 + (n – 1)(−3) = −3n + 324.

Ta có: u_n = 99 ⇒ −3n + 324 = 99

⇒ −3n = −225 ⇒ n = 75.

Vậy 99 là số hạng thứ 75 trong dãy số.

Bài 6. Cho cấp số cộng (u_n) có u₂ = 2017 và u₃ = 1945. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng đã cho bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có u₃ – u₂ = 1945 – 2017 = –72 ⇒ d = −72.

⇒ u₁ = u₂ − d = 2017 + 72 = 2089.

u₆ = u₁ + 5d = 2089 + 5.(−72) = 1729.

Vậy số hạng thứ 6 của cấp số cộng đã cho là 1729.

Bài 7. Cho cấp số cộng (u_n) có $u_1=\frac{1}{3},u_8=26$ . Tìm d và xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có $u_8=u_1+7d \iff 26=\frac{1}{3}+7d$

$\iff 7d=\frac{77}{3}$$\iff d=\frac{11}{3}.$

Vậy công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là $u_n=u_1+\frac{11}{3}\left(n–1\right)$ .

Bài 8. Cho cấp số nhân (u_n) có u₂ = 2 và u₅ = 16. Tìm q và u₁ của cấp số nhân đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có:

• u₂ = u₁.q ⇔ 2 = u₁.q

• u₅ = u₁.q⁴ ⇔ 16 = u₁.q⁴

Khi đó $\frac{u_5}{u_2}=\frac{u_1.q^4}{u_1.q}=q^3$ ⇔ q³ = 8 ⇔ q = 2.

Do đó u₁ = 1.

Vậy q = 2 và u₁ = 1.

Bài 9. Dãy số (u_n) có u_n = 4 . 3n có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội?

A. q = 3;

B. q = 2;

C. q = 4;

D. q = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{4.3}^{n+1}}{{4.3}^n}=3$ không phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số (u_n) là một cấp số nhân với công bội q = 3.

Bài 10. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và $q=\frac{1}{2}.$ Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

A. $\frac{765}{256};$

B. $\frac{765}{128};$

C. $\frac{265}{756};$

D. $\frac{128}{265}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục