10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song có đáp án

Câu 1:

Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với $S D = a \sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa đường thẳng DC và (SAB).

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{a}{\sqrt{2}}$

C. $a \sqrt{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm (ảnh 1)

Do ABCD là hình vuông tại A, D nên AB // CD ⇒ CD // (SAB).

Do đó d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)).

Kẻ DH ^ SA tại H.

Vì SD ^ (ABCD) nên SD ^ AB mà AB ^ AD suy ra AB ^ (SAD) ⇒ AB ^ HD.

Lại có DH ^ SA nên DH ^ (SAB). Do đó d(D, (SAB)) = DH.

Trong tam giác vuông SAD vuông tại D, ta có: $\frac{1}{D H^{2}} = \frac{1}{S D^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{3}{4 a^{2}}$

Câu 2:

Cho hình chóp O.ABC có đường cao

O H = \frac{2 a}{\sqrt{3}}

. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng:

A. $\frac{a}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{a}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH= 2a căn 3. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB (ảnh 1)

Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên MN // AB.

Suy ra MN // (ABC). Do đó d(MN, (ABC)) = d(M, (ABC)).

Ta có $\frac{d (M, (A B C))}{d (O, (A B C))} = \frac{A M}{A O} = \frac{1}{2} \Rightarrow d (M, (A B C)) = \frac{1}{2} d (O, (A B C))$ .

Mà d(O, (ABC)) = OH = $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$ .

Do đó $d (M, (A B C)) = \frac{a}{\sqrt{3}}$ .

Câu 3:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu?

A. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{2 a \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a}{2}$

D. a

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu? (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình vuông.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ CD (1).

Gọi I, M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD ⇒ IM ^ CD (2).

Từ (1) và (2), suy ra CD ^ (SIM).

Hạ IH ^ SM tại H.

Vì CD ^ (SIM) ⇒ CD ^ IH mà HI ^ SM ⇒ IH ^ (SCD).

Do đó d(AB, (SCD)) = d(I, (SCD)) = IH.

Vì DSCD đều nên $S M = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .

Có $O M = \frac{1}{2} I M = a$ .

Xét DSOM vuông tại O có $S O = \sqrt{S M^{2} - O M^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì $S_{Δ S I M} = \frac{1}{2} S O . I M = \frac{1}{2} I H . S M \Rightarrow I H = \frac{S O . I M}{S M} = \frac{a \sqrt{2} .2 a}{a \sqrt{3}} = \frac{2 a \sqrt{6}}{3}$ .

Câu 4:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) bằng

A. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{2 a \sqrt{6}}{9}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) bằng (ảnh 1)

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ CD.

Kẻ OI ^ CD và OH ^ SI.

Vì SO ^ CD và OI ^ CD nên CD ^ (SOI) ⇒ CD ^ OH.

Lại có OH ^ SI nên OH ^ (SCD).

Do đó d(O, (SCD)) = OH.

Vì OI là đường trung bình DACD nên $O I = \frac{A D}{2} = \frac{a}{2}$ .

Vì DSCD đều cạnh a nên $S I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét DSOI vuông tại O, có $S O = \sqrt{S I^{2} - I O^{2}} = \sqrt{\frac{3}{4} a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ ,

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O I^{2}} = \frac{2}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{6}{a^{2}} \Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{6}}{6}$ .

Vì AB // CD nên AB // (SCD). Do đó d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).

Mà $\frac{d (A, (S C D))}{d (O, (S C D))} = \frac{C A}{C O} = 2 \Rightarrow d (A, (S C D)) = 2 d (O, (S C D))$ .

Do đó $d (A, (S C D)) = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a, M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACM).

A. $\frac{3 a}{2}$

B. a

C. $\frac{2 a}{3}$

D. $\frac{a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a, M là trung điểm của SD (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC, BD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.

Vì O, M lần lượt là trung điểm của BD, SD nên OM là đường trung bình của DSBD.

Suy ra OM // SB Þ SB // (AMC) (1).

Qua B, kẻ Bx // AC và qua A kẻ AE vuông góc với Bx tại E. Suy ra BE // (AMC) (2).

Từ (1) và (2), suy ra (SBE) // (AMC).

Kẻ AH ^ SE (3).

Vì AE ^ EB mà SA ^ EB (do SA ^ (ABCD)) Þ EB ^ (SAE) Þ EB ^ AH (4).

Từ (3), (4) Þ AH ^ (SEB).

Ta có d(SB, (ACM)) = d((SBE), (ACM)) = d(A, (SBE)) = AH.

Xét DABD vuông tại A, có $B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow B O = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Ta có $A E = B O = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét DSAE vuông tại A, có $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A E^{2}} = \frac{1}{4 a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} = \frac{9}{4 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{2 a}{3}$ .

Câu 6:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A'D'. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC').

A. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a}{4}$

C. $\frac{a}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A'D'. (ảnh 1)

Xét DADC có M, N lần lượt là trung điểm của AD, DC nên MN là đường trung bình của DADC ⇒ MN //AC. Do đó MN // (ACC') (1).

Tương tự MP // AA' ⇒ MP // (ACC') (2).

Từ (1) và (2), suy ra (MNP) // (ACC').

Gọi O = AC Ç BD, I = MN Ç BD.

Vì OI ^ AC và OI ^ CC' (do CC' ^ (ABCD)) Þ OI ^ (ACC')

Suy ra $d ((M N P), (A C C^{'})) = O I = \frac{1}{4} A C = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ .

Câu 7:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60°, đáy ABC là tam giác đều và A' cách đều A, B, C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

A. a

B. $a \sqrt{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{2 a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60°, đáy ABC là tam giác đều và A' (ảnh 1)

Vì ∆ABC đều và AA' = A'B = A'C Þ A'.ABC là hình chóp đều.

Gọi A'H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm DABC.

Khi đó AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng ABC Þ $\hat{A^{'} A H} = 60 °$ .

Vì (ABC) // (A'B'C') nên d((ABC), (A'B'C')) = A'H.

Xét DAA'H vuông tại H, có $A^{'} H = A H . \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{3} \sqrt{3} = a$ .

Câu 8:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60°. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D.  $\frac{a}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60° (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó A'H ^ (ABC).

Do đó AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng (ABC) Þ $\hat{A^{'} A H} = 60 °$ .

Vì (ABC) // (ABC) nên d((ABC), (A'B'C')) = A'H.

Xét DA'AH vuông tại H, có $A^{'} H = A^{'} A . \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 9:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 4, AD = 3. Mặt phẳng (ACD') tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.

A. $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$

B. $\frac{12 \sqrt{3}}{5}$

C. $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$

D. $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 4, AD = 3. Mặt phẳng (ACD') tạo với mặt đáy một góc 60°. (ảnh 1)

Kẻ DO ^ AC tại O (1).

Mà DD' ^ (ABCD) Þ DD' ^ AC (2).

Từ (1) và (2) Þ AC ^ (DD'O) Þ AC ^ D'O.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (ACD') và mặt phẳng (ABCD) chính là $\hat{D^{'} O D} = 60 °$ .

Xét DADC vuông tại D, có $\frac{1}{D O^{2}} = \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{D C^{2}} = \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} = \frac{25}{144} \Rightarrow D O = \frac{12}{5}$ .

Vì (ABCD) // (A'B'C'D') nên d((ABCD), (A'B'C'D')) = DD'.

Xét DD'DO vuông tại D, ta có: $D D^{'} = D O . \tan 60 ° = \frac{12 \sqrt{3}}{5}$ .

Câu 10:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB') và (DA'C') bằng

A. $a \sqrt{3}$

B. $a \sqrt{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB') và (DA'C') bằng (ảnh 1)

Vì (ACB') // (DA'C') nên ta có: d((ACB'), (DA'C')) = d(D, (ACB')) = d(B, (ACB')).

Vì BA = BC = BB' = a và AB' = B'C = AC = nên hình chóp B. ACB' là hình chóp đều.

Gọi I là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ACB'.

Khi đó d(B, (ACB')) = BG.

Vì tam giác ACB' đều nên $B' I = a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Theo tính chất trọng tâm ta có: $B' G = \frac{2}{3} B' I = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Trong tam giác vuông BGB' có:

B G = \sqrt{B B'^{2} - B' G^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{6 a^{2}}{9}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}

.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 26. Khoảng cách có đáp án

Dạng 2: Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương