15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay có đáp án

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm O góc quay 90 độ biến điểm $M (1; 2)$ thành điểm nào?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Biểu thức tọa độ của phép quay

$Q_{(O; 90 °)} : M (x; y) \to M' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = - y \\ y' = x \end{cases}$

Với $M (1; 2)$ , ta có: $\{\begin{cases} x' = - y = - 2 \\ y' = x = 1 \end{cases}$

Vậy

M' (- 2; 1)

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

d' : 5 x - 3 y + 15 = 0

Tìm ảnh d’ của d qua phép quay

Q_{(O; 90 °)}

với O là gốc tọa độ?

Xem đáp án

Chọn $A (0; 5) \in d, B (- 3; 0) \in d$

$\begin{array}{l} Q_{(O; 90 °)} (A) = A' (- 5; 0) \in d'; \\ Q_{(O; 90 °)} (B) = B' (0; - 3) \in d' \end{array}$

Đường thẳng d’ là đường thẳng có phương trình là:

A' B' : 3 x + 5 y + 15 = 0

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ .

Tìm ảnh (C') của đường tròn (C) qua $Q_{(O; 90 °)}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Với mọi $M (x; y) \in (C)$ thì

$Q_{(O; 90 °)} (M) = M' (x'; y') \in (C')$

Biểu thức tọa độ $\{\begin{cases} x' = - y \\ y' = x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} y = - x' \\ x = y' \end{cases}$

Thay tọa độ vào đường tròn (C) , ta có:

${(y' - 1)}^{2} + {(- x' - 2)}^{2} = 4 \Leftrightarrow {(x' + 2)}^{2} + {(y' - 1)}^{2} = 4$

Vậy $(C) : {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm O góc quay $90 °$ biến điểm $M (- 3; 5)$ thành điểm nào?

A. $(3; 4)$

B. $(- 5; - 3)$

C. $(5; - 3)$

D. $(- 3; - 5)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Biểu thức tọa độ $Q_{(O; 90 °)} : M (x; y) \to M' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = - y = - 5 \\ y' = x = - 3 \end{cases}$ của phép quay

Suy ra $M' : \{\begin{cases} x' = - 5 \\ y' = 3 \end{cases}$ . Vậy $M' (- 5; - 3)$ .

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1,1) . Hỏi điểm nào sau đây là ảnh của điểm M qua phép quay tâm $O (0; 0)$ , góc quay $45 °$ ?

A. $M' (\sqrt{2}; 0)$

B. $M' (0; \sqrt{2})$

C. $M' (0; 1)$

D. $M' (1; - 1)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Xét $Q_{(O; 90 °)} : M (x; y) \to M' (x'; y')$

Biểu thức tọa độ: $\{\begin{cases} x' = x \cos φ - y \sin φ = \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y \\ y' = x \sin φ + y \cos φ = \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y \end{cases}$

Với M(1,1), ta có: $\{\begin{cases} x' = 0 \\ y' = \sqrt{2} \end{cases} \Rightarrow M' (0; \sqrt{2})$ .

Chọn B.

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $A (x; y)$ . Biểu thức tọa độ của điểm $A' = Q_{(O; 90 °)} (A)$ là:

A. $\{\begin{cases} x' = y \\ y' = - x \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x' = - y \\ y' = x \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x' = - y \\ y' = - x \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x' = y \\ y' = x \end{cases}$

Xem đáp án

Ta có: $Q_{(O; 90 °)} (A (x; y)) = A' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = - y \\ y' = x \end{cases}$

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $A (x; y)$ . Biểu thức tọa độ của điểm $A' = Q_{(O; - 90 °)} (A)$ là:

A. $\{\begin{cases} x' = y \\ y' = - x \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x' = - y \\ y' = x \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x' = - y \\ y' = - x \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x' = y \\ y' = x \end{cases}$

Xem đáp án

Ta có: $Q_{(O; - 90 °)} (M (x; y)) = M' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = y \\ y' = - x \end{cases}$

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $A (4; 1)$ . Tọa độ của điểm $A' = Q_{(O; - 90 °)} (A)$ là:

A. $A' (- 1; 4)$

B. $A' (1; - 4)$

C. $A' (4; - 1)$

D. $A' (- 4; - 1)$

Xem đáp án

Ta có: $Q_{(O; - 90 °)} (M (x; y)) = M' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = y = 1 \\ y' = - x = - 4 \end{cases}$

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm $I (1; 2)$ , biết điểm $A (4; 5)$ . Khi đó với $B (x_{B}; y_{B}), C (x_{C}; y_{C}), D (x_{D}; y_{D})$ thì $x_{B} . x_{C} . x_{D}$ bằng:

A. 12

B. 8

C. 16

D. 32

Xem đáp án

Dựa vào hình vẽ, ta có:

$\{\begin{cases} Q_{(I; 90 °)} (A) = B (- 2; 5) \\ Q_{(I; 180 °)} (A) = C (- 2; - 1) \\ Q_{(I; - 90 °)} (A) = D (4; - 1) \end{cases} \Rightarrow x_{B} . x_{C} . x_{D} = (- 2) . (- 2) .4 = 16$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I(1,2) , biết điểm A(4,5) . (ảnh 1)

Câu 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d : x + y + 1 = 0$ , điểm $I (1; - 2)$ , phép quay $Q_{(O; 90 °)} (d) = d'$ . Phương trình đường thẳng d’ là:

A. $- x + y - 2 = 0$

B. $x - y - 1 = 0$

C. $x - y + 3 = 0$

D. $x - y - 3 = 0$

Xem đáp án

Với mọi điểm $I (1; - 2) \in d : Q_{(O; 90 °)} (I) = I' (2; 1) \in d'$

Phép quay $Q_{(O; 90 °)} (d) = d' \Rightarrow d ⊥ d'$ .

Do đó $d : x - y + c = 0$ . Mà $I' (2; 1) \in d'$ nên $c = - 1$

Vậy $d' : x - y - 1 = 0$

Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $A (0; 3)$ . Ảnh của A qua phép quay $A' = Q_{(O; - 45 °)}$ là:

A. $A' (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{3}{\sqrt{2}})$

B. $A' (\frac{3}{4}; \frac{1}{4})$

C. $A' (\frac{- 3}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}})$

D. $A' (\frac{3}{\sqrt{2}}; \frac{2}{\sqrt{2}})$

Xem đáp án

Ta có : $Q_{(O; - 45 °)} (A (x; y)) = A' (x'; y')$

Suy ra $\{\begin{cases} x' = 0. \cos (- 45 °) - 3 \sin (- 45 °) \\ y' = 0. \sin (- 45 °) + 3 \cos (- 45 °) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x' = \frac{3}{\sqrt{2}} \\ y' = \frac{3}{\sqrt{2}} \end{cases} \Rightarrow A' (\frac{3}{\sqrt{2}}; \frac{3}{\sqrt{2}})$

Câu 12:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $I (2; 1)$ và đường thẳng $d : 2 x + 3 y + 4 = 0$ . Ảnh của d qua $Q_{(I; 45 °)}$ là:

A. $- x + 5 y - 2 + 3 \sqrt{2} = 0$

B. $- x + 5 y - 3 + 10 \sqrt{2} = 0$

C. $x - 5 y + 3 + \sqrt{2} = 0$

D. $- x + 5 y - 3 + 11 \sqrt{2} = 0$

Xem đáp án

Với mọi điểm $M (x; y) \in d$ ta có $Q_{(I; 45 °)} (M) = M' (x'; y') \in d'$ .

Với $I (2; 1)$ , ta có biểu thức tọa độ $\{\begin{cases} x' - 2 = (x - 2) . \cos 45 ° - (y - 1) \sin 45 ° = (x - 2) \frac{\sqrt{2}}{2} - (y - 1) \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y' - 1 = (x - 2) . \sin 45 ° + (y - 1) \cos 45 ° = (x - 2) \frac{\sqrt{2}}{2} + (y - 1) \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - y = 1 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} x' \\ x + y = 3 - \sqrt{2} + \sqrt{2} y' \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 - \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} x' + \frac{1}{\sqrt{2}} y' \\ x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} x' + \frac{1}{\sqrt{2}} y' \end{cases}$

Thay x và y vào phương trình đường thẳng d ta được $d' : - x + 5 y - 3 + 11 \sqrt{2} = 0$ .

Câu 13:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} + 6 x + 5 = 0$ . Ảnh đường tròn (C) của (C') qua $Q_{(O; 90 °)}$ là:

A. $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$

B. $x^{2} + y^{2} + 6 y - 6 = 0$

C. $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$

D. $x^{2} + y^{2} + 6 y - 5 = 0$

Xem đáp án

Đường tròn (C) có tâm $I (- 3; 0)$ và bán kính R=2.

$Q_{(O; 90 °)} (I (x; y)) = I' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = 0 \\ y' = 3 \end{cases} \Rightarrow I' (0; - 3)$ .

Đường tròn (C') có tâm $I' (0; - 3)$ và bán kính $R' = R = 2$ nên có phương trình $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$

Câu 14:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép quay tâm O góc quay $45 °$ . Ảnh của đường tròn $(C) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ là:

A. ${(x - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(y - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 4$

B. ${(x + \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(y + \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 4$

C. ${(x - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(y + \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 4$

D. $x^{2} + y^{2} + \sqrt{2} x + \sqrt{2} y - 2 = 0$

Xem đáp án

Đường tròn (C) có tâm $I (1; 0)$ và bán kính R=2

Ta có: $Q_{(O; 45 °)} (I (x; y)) = I' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = 1. \cos 45 ° - 0 \sin 45 ° \\ y' = 1. \sin 45 ° + 0 \cos 45 ° \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x' = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y' = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \Rightarrow I' (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

Đường tròn (C) có tâm $I' (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ và bán kính $R' = R = 2$ nên có phương trình là: ${(x - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(y - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 4$ .

Câu 15:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh AC, BC của

Δ A B C

biết

A (1; 2), B (3; 4)

và

\cos A = \frac{2}{\sqrt{5}}, \cos B = \frac{3}{\sqrt{10}}

A. $A C : x - y - 1 = 0; B C = x - y + 5 = 0$

B. $A C : 3 x - y - 2 = 0; B C = x - 2 y + 3 = 0$

C. $A C : 3 x - y - 1 = 0; B C = x - 2 y + 5 = 0$

D. $A C : 3 x - y - 4 = 0; B C = x - 2 y + 2 = 0$

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh AC, BC của tam giác ABC biết A(1,2), B(3,4) (ảnh 1)

Đặt $\hat{B A C} = α$ . Khi đó $\sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Xét phép quay $Q_{(A; α)} (B) = B' (x'; y') \in A C$ .

Ta có biểu thức tọa độ $\{\begin{cases} x' - 1 = 2. \cos α - 2. \sin α = 2. \frac{2}{\sqrt{5}} - 2. \frac{1}{\sqrt{5}} \\ y' - 2 = 2. \sin α + 2 \cos α = 2. \frac{2}{\sqrt{5}} + 2. \frac{1}{\sqrt{5}} \end{cases}$

Suy ra $\{\begin{cases} x' = 1 + \frac{2}{\sqrt{5}} \\ y' = 2 + \frac{6}{\sqrt{5}} \end{cases} \Rightarrow B' (1 + \frac{2}{\sqrt{5}}; 2 + \frac{6}{\sqrt{5}})$

Đường thẳng AC qua A và B’ có phương trình là $3 x - y - 1 = 0$

Tương tự. Đặt $\hat{A B C} = β$ . Khi đó $\sin β = \sqrt{1 - \cos^{2} β} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ .

Xét phép quay $Q_{(B; β)} (A) = A' (x'; y') \in B C$

Ta có biểu thức tọa độ $\{\begin{cases} x' - 3 = - 2. \cos β + 2. \sin β = - 2. \frac{3}{\sqrt{10}} + 2. \frac{1}{\sqrt{10}} \\ y' - 4 = - 2. \sin β - 2 \cos β = - 2. \frac{1}{\sqrt{10}} - 2. \frac{3}{\sqrt{10}} \end{cases}$

Suy ra $\{\begin{cases} x' = 3 - \frac{4}{\sqrt{10}} \\ y' = 4 - \frac{8}{\sqrt{10}} \end{cases} \Rightarrow B' (3 - \frac{4}{\sqrt{10}}; 4 - \frac{8}{\sqrt{10}})$

Đường thẳng BC qua B và A’ có phương trình là $x - 2 y + 5 = 0$ .

Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 2: Phép quay có đáp án

Dạng 2: Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương