Giải SGK Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 4: Phép nhân đa thức

Giải SGK Toán 8 Bài 4: Phép nhân đa thức

Mở đầu trang 19 Toán 8 Tập 1: Giả sử độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật được biểu thị bởi M = x + 3y + 2 và N = x + y. Khi đó, diện tích của hình chữ nhật được biểu thị bởi MN = (x + 3y + 2)(x + y).

Trong tình huống này, ta phải nhân hai đa thức M và N. Phép nhân đó được thực hiện như thế nào và kết quả có phải là một đa thức hay không?

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Ta thực hiện phép nhân đa thức M và N, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức M với từng hạng tử của đa thức N rồi cộng các kết quả với nhau.

Ta thực hiện như sau:

MN = (x + 3y + 2)(x + y)

= x . x + 3y . x + 2 . x + x . y + 3y . y + 2 . y

= x² + 3xy + 2x + xy + 3y² + 2y

= x² + 4xy + 2x + 3y² + 2y.

Kết quả của phép nhân hai đa thức M và N là một đa thức.

Luyện tập 1 trang 19 Toán 8 Tập 1: Nhân hai đơn thức:

a) 3x² và 2x³;

b) –xy và 4z³;

c) 6xy³ và –0,5x².

Lời giải:

a) 3x² . 2x³ = (3. 2)(x² . x³) = 6x⁵;

b) –xy . 4z³ = –4xyz³;

c) 6xy³ . (–0,5x²) = [6 . (–0,5)] (x . x²) y³ = –3x³y³.

HĐ1 trang 20 Toán 8 Tập 1: Hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp chúng có một biến bằng cách thực hiện phép nhân (5x²) . (3x² – x – 4).

Lời giải:

Ta có (5x²) . (3x² – x – 4) = 5x² . 3x² – 5x² . x – 5x² . 4

= 15x⁴ – 5x³ – 20x².

HĐ2 trang 20 Toán 8 Tập 1: Bằng cách tương tự, hãy làm phép nhân (5x²y) . (3x²y – xy – 4y).

Lời giải:

Ta có (5x²y) . (3x²y – xy – 4y) = 5x²y . 3x²y – 5x²y . xy – 5x²y . 4y

= 5x²y . 3x²y – 5x²y . xy – 5x²y . 4y

Luyện tập 2 trang 20 Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:

a) (xy) . (x² + xy – y²);

b) (xy + yz + zx) . (–xyz).

Lời giải:

a) (xy) . (x² + xy – y²) = xy . x² + xy . xy – xy . y²

= x³y + x²y² – xy³.

b) (xy + yz + zx) . (–xyz) = xy . (–xyz) + yz . (–xyz) + zx . (–xyz)

= –x²y²z – xy²z² – x²yz².

Vận dụng trang 20 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức: x³(x + y) – x(x³ + y³).

Lời giải:

Ta có x³(x + y) – x(x³ + y³) = x³ . x + x³ . y – x³ . x – x . y³

= x⁴ + x³y – x⁴ – xy³ = x³y – xy³.

HĐ3 trang 21 Toán 8 Tập 1: Hãy nhớ lại quy tắc nhân hai đa thức một biến bằng cách thực hiện phép nhân:

(2x + 3) . (x² – 5x + 4).

Lời giải:

Ta có (2x + 3) . (x² – 5x + 4)

= 2x . x² – 2x . 5x + 2x . 4 + 3 . x² – 3 . 5x + 3 . 4

= 2x³ – 10x² + 8x + 3x² – 15x + 12

= 2x³ + (3x² – 10x²) + (8x – 15x) + 12

= 2x³ – 7x² – 7x + 12.

HĐ4 trang 21 Toán 8 Tập 1: Bằng cách tương tự, hãy thử làm phép nhân (2x + 3y) . (x² – 5xy + 4y²).

Lời giải:

Ta có (2x + 3y) . (x² – 5xy + 4y²)

= 2x . x² – 2x . 5xy + 2x . 4y² + 3y . x² – 3y . 5xy + 3y . 4y²

= 2x³ – 10x²y + 8xy² + 3x²y – 15xy² + 12y³

= (2x³ + 12y³) + (3x²y – 10x²y) + (8xy² – 15xy²)

= 14y³ – 7x²y – 7xy².

HĐ5 trang 21 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép nhân:

a) (2x + y)(4x² – 2xy + y²);

b) (x²y² – 3)(3 + x²y²).

Lời giải:

a) (2x + y)(4x² – 2xy + y²)

= 2x . 4x² – 2x . 2xy + 2x . y² + y . 4x² – y . 2xy + y . y²

= 8x³ – 4x²y + 2xy² + 4x²y – 2xy² + y³

= 8x³ + (4x²y – 4x²y) + (2xy² – 2xy²) + y³

= 8x³ + y³.

b) (x²y² – 3)(3 + x²y²) = x²y² . 3 + x²y² . x²y² – 3 . 3 – 3 . x²y²

= 3x²y² + x⁴y⁴ – 9 – 3x²y² = x⁴y⁴ – 9.

Thử thách nhỏ trang 21 Toán 8 Tập 1: Xét biểu thức đại số với hai biến k và m sau:

P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Chứng minh rằng tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.

Lời giải:

a) P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3)

= (6km – 9m – 4k + 6) – (6km – 4m – 9k + 6)

= 6km – 9m – 4k + 6 – 6km + 4m + 9k – 6

= (6km – 6km) + (4m – 9m) + (9k – 4k) + (6 – 6) = 5k – 5m.

b) Ta thấy P = 5k – 5m = 5(k – m)

Vì 5 ⋮ 5 nên 5(k – m) ⋮ 5

Do đó, tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.

Bài 1.24 trang 21 Toán 8 Tập 1: Nhân hai đơn thức:

a) 5x²y và 2xy²;

b) $\frac{3}{4}xy$ và 8x³y³;

c) 1,5xy²z³ và 2x³y²z.

Lời giải:

a) 5x²y . 2xy² = (5. 2)(x² . x)(y . y²);

b) $\frac{3}{4}xy.8x^3{y}^3=\left(\frac{3}{4}.8\right)\left(x.x^3\right)\left(y.y^3\right)=6x^4{y}^4$ ;

c) 1,5xy²z³ . 2x³y²z = (1,5 . 2)(x . x³)(y² . y²)(z . z³) = 3x⁴y⁴z⁴.

Bài 1.25 trang 21 Toán 8 Tập 1: Tìm tích của đơn thức với đa thức:

a) (−0,5)xy² (2xy – x² + 4y);

b) $\left(x^{3}y-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}xy\right)6x{y}^3$

Lời giải:

a) (−0,5)xy² (2xy – x² + 4y) = (−0,5)xy² . 2xy + 0,5xy² . x² − 0,5xy² . 4y

= −x²y³ + 0,5x³y² − 2xy³;

b) $\left(x^{3}y-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}xy\right)6x{y}^3$

$=x^{3}y.6x{y}^3-\frac{1}{2}{x}^2.6x{y}^3+\frac{1}{3}xy.6x{y}^3$

$=6x^4{y}^4-3x^3{y}^3+2x^2{y}^4$

Bài 1.26 trang 21 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức: x(x² – y) – x²(x + y) + xy(x – 1).

Lời giải:

Ta có x(x² – y) – x²(x + y) + xy(x – 1)

= x . x² – x . y – x² . x – x² . y + xy . x – xy . 1

= x³ – xy – x³ – x²y + x²y – xy

= (x³ – x³) + (x²y – x²y) – (xy + xy) = –2xy.

Bài 1.27 trang 21 Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:

a) (x² – xy + 1)(xy + 3);

b) $\left(x^2{y}^2-\frac{1}{2}xy+2\right)\left(x-2y\right)$

Lời giải:

a) (x² – xy + 1)(xy + 3)

= x² . xy – xy . xy + 1 . xy + x² . 3 – xy . 3 + 1 . 3

= x³y – x²y² + xy + 3x² – 3xy + 3

= x³y – x²y² + (xy – 3xy) + 3x² + 3

= x³y – x²y² – 2xy + 3x² + 3.

b) $\left(x^2{y}^2-\frac{1}{2}xy+2\right)\left(x-2y\right)$

$=x^2{y}^2.x-\frac{1}{2}xy.x+2.x-x^2{y}^2.2y+\frac{1}{2}xy.2y-2.2y$

$=x^3{y}^2-\frac{1}{2}{x}^{2}y+2x-2x^2{y}^3+x{y}^2-4y$

Bài 1.28 trang 21 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến: (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7.

Lời giải:

Ta có (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7

= x . 2x – 5 . 3 – 2x . x + 2x . 3 + x + 7

= 2x² – 15 – 2x² + 6x + x + 7

= (2x² – 2x²) + (6x + x) + (7 – 15) = 7x – 7.

Bài 1.29 trang 21 Toán 8 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau: (2x + y)(2x² + xy – y²) = (2x – y)(2x² + 3xy + y²).

Lời giải:

Ta có:

• (2x + y)(2x² + xy – y²)

= 2x . 2x² + 2x . xy – 2x . y² + y . 2x² + y . xy – y . y²

= 4x³ + 2x²y – 2xy² + 2x²y + xy² – y³

= 4x³ + (2x²y + 2x²y) + (xy² – 2xy²) – y³

= 4x³ + 4x²y – xy² – y³.

• (2x – y)(2x² + 3xy + y²)

= 2x . 2x² + 2x . 3xy + 2x . y² – y . 2x² – y . 3xy – y . y²

= 4x³ + 6x²y + 2xy² – 2x²y – 3xy² – y³

= 4x³ + (6x²y – 2x²y) + (2xy² – 3xy²) – y³

= 4x³ + 4x²y – xy² – y³.

Do đó (2x + y)(2x² + xy – y²) = (2x – y)(2x² + 3xy + y²) = 4x³ + 4x²y – xy² – y³.

Vậy (2x + y)(2x² + xy – y²) = (2x – y)(2x² + 3xy + y²).

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức

Luyện tập chung trang 17

Bài 5: Phép chia đa thức cho đơn thức

Luyện tập chung trang 25

Bài tập cuối chương 1