Giải Toán 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp
Câu hỏi khởi động
Trong toán học, mỗi cách sắp xếp thứ tự đá luân lưu của 5 cầu thủ được gọi là gì?
Lời giải:
Sau bài học này, ta sẽ biết được mỗi cách sắp xếp thứ tự đá luân lưu của 5 cầu thủ được gọi là một hoán vị của 5 cầu thủ đó.
I. Hoán vị
Lời giải:
Ta có thể xếp thứ tự đá luân lưu của 5 cầu thủ như sau:
Cách 1: An → Bình → Cường → Dũng → Hải.
Cách 2: Bình → Cường → An → Dũng → Hải.
Cách 3: Hải → Dũng → Bình → Cường → An.
a) Có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ nhất?
b) Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất, có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ hai?
c) Sau khi đã chọn 2 nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai, có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ ba?
d) Với mỗi cách chọn 3 nhóm như trên, giáo viên tạo ra một hoán vị của 3 phần tử. Tính số các hoán vị được tạo ra.
Lời giải:
a) Vì có tất cả là 3 nhóm khác nhau trong lớp, nên có 3 cách chọn nhóm trình bày thứ nhất (chọn A, hoặc B, hoặc C).
b) Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất, thì còn lại 2 nhóm chưa trình bày, do đó có 2 cách chọn nhóm trình bày thứ hai.
c) Sau khi đã chọn 2 nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai, thì lớp còn lại 1 nhóm chưa trình bày, vậy có 1 cách chọn nhóm trình bày thứ ba.
c) Việc chọn thứ tự nhóm trình bày là ta thực hiện ba hành động liên tiếp: chọn nhóm trình bày thứ nhất, chọn nhóm trình bày thứ hai và chọn nhóm trình bày thứ ba.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn thứ tự nhóm trình bày hay chính là số các hoán vị của 3 phần tử là: 3 . 2 . 1 = 6.
Vậy số các hoán vị được tạo ra là 6.
Lời giải:
Mỗi cách tạo ra một số gồm sáu chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là một hoán vị của 6 phần tử.
Vậy số số gồm sáu chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán được tạo thành là:
P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 (số).
II. Chỉnh hợp
Lời giải:
Một vectơ khác vectơ thì có điểm đầu và điểm cuối khác nhau.
Để tạo ra một vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta phải chọn 2 trong 3 điểm A, B, C và xác định thứ tự 2 điểm đó.
Các vectơ lập được là: .
Lời giải:
4 kết quả thực hiện hành động của giáo viên, chẳng hạn:
+ Chọn 2 nhóm trong 4 nhóm: giáo viên chọn nhóm A và nhóm B, tiếp theo xếp thứ tự trình bày hai nhóm A và B, có 2 cách:
- Nhóm A trình bày trước rồi đến nhóm B.
- Nhóm B trình bày trước rồi đến nhóm A.
+ Chọn 2 nhóm khác trong 4 nhóm: giáo viên chọn nhóm C và nhóm D, tiếp theo xếp thứ tự trình bày hai nhóm C và D, có 2 cách:
- Nhóm C trình bày trước rồi đến nhóm D.
- Nhóm D trình bày trước rồi đến nhóm C.
Vậy là ta có 4 kết quả thực hiện hành động của giáo viên như trên.
Ngoài ra, ta cũng có thể chọn 2 nhóm trước là A và C rồi xếp thứ tự 2 nhóm này, hoặc là chọn 2 nhóm khác trước bất kì trong 4 nhóm A, B, C, D rồi xếp thứ tự hai nhóm đó, ta sẽ được các kết quả khác.
a) Có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ nhất?
b) Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất, có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ hai?
c) Sau khi đã chọn 2 nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai, có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ ba?
d) Với mỗi cách chọn 3 nhóm như trên, giáo viên tạo ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Tính số các chỉnh hợp được tạo ra.
Lời giải:
a) Có 5 nhóm A, B, C, D, E, giáo viên chọn 3 nhóm bất kì trong 5 nhóm này.
Do đó khi chọn nhóm trình bày thứ nhất trong 3 nhóm được chọn ra, chính là chọn ra 1 nhóm từ 5 nhóm trên để trình bày thứ nhất. Có 5 cách chọn.
Vậy có 5 cách chọn nhóm trình bày thứ nhất.
b) Khi đã chọn được nhóm trình bày thứ nhất rồi, ta chọn tiếp 1 nhóm trong 4 nhóm còn lại để trình bày thứ hai. Vậy có 4 cách chọn nhóm trình bày thứ hai.
c) Khi đã chọn được nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai, ta chọn tiếp 1 nhóm trong 3 nhóm còn lại để trình bày thứ ba. Vậy có 3 cách chọn nhóm trình bày thứ ba.
d) Với mỗi cách chọn 3 nhóm như trên, giáo viên tạo ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử, việc chọn bộ ba nhóm như thế chính là việc thực hiện ba hành động liên tiếp: chọn nhóm trình bày thứ nhất, chọn nhóm trình bày thứ hai và chọn nhóm trình bày thứ ba.
Do đó, theo quy tắc nhân, số các chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử là: 5 . 4 . 3 = 60.
Vậy số các chỉnh hợp được tạo ra là 60.
Lời giải:
Thực hiện bấm máy tính theo hướng dẫn.
Lời giải:
Việc chọn ra 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ chính là thực hiện chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ và xếp thứ tự đá cho 5 cầu thủ được chọn đó. Mỗi cách xếp 5 cầu thủ này để đá luân lưu chính là một chỉnh hợp chập 5 của 11.
Vậy có = 11 . 10 . 9 . 8 . 7 = 55 440 (cách chọn 5 cầu thủ đá luân lưu).
Bài tập
a) Gồm 8 chữ số đôi một khác nhau?
b) Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
Lời giải:
a) Mỗi cách lập một số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau là một hoán vị của 8 phần tử.
Vậy ta lập được P8 = 8! = 8 . 7. 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40 320 số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau.
b) Mỗi cách lập một số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 6 của 8.
Vậy ta lập được = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 20 160 số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên?
b) Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai?
c) Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba?
Lời giải:
a) Việc sắp xếp 20 bạn ngồi vào hàng đầu tiên chính là việc thực hiện hành động chọn ra 20 bạn học sinh trong 60 học sinh và xếp thứ tự 20 bạn đó. Mỗi cách xếp như vậy chính là một chỉnh hợp chập 20 của 60.
Vậy có cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên.
b) Sau khi sắp xếp xong 20 bạn vào hàng đầu tiên thì còn lại 60 – 20 = 40 học sinh, tương tự ta lại tiếp tục chọn ra 20 bạn trong 40 bạn này để xếp vào hàng ghế thứ hai.
Vậy có cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai.
c) Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, thì còn lại 60 – 20 – 20 = 20 học sinh. Ta xếp 20 học sinh này vào hàng ghế thứ ba.
Vậy có cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba.
Lời giải:
Để tạo ra một mật khẩu, bạn Việt thực hiện hai hành động liên tiếp sau:
+ Thứ nhất, chọn 3 kí tự đầu tiên chính là chọn 3 chữ cái trong 26 chữ cái và xếp thứ tự ba chữ cái đó. Mỗi cách xếp là một chỉnh hợp chập 3 của 26. Do đó, có cách chọn 3 kí tự đầu tiên.
+ Thứ hai, chọn 5 kí tự tiếp theo chính là chọn 5 chữ số trong 10 chữ số (từ 0 đến 9) và xếp thứ tự 5 chữ số đó. Mỗi cách xếp là một chỉnh hợp chập 5 của 10. Do đó, có cách chọn 5 kí tự tiếp theo.
Theo quy tắc nhân, vậy bạn Việt có = 471 744 000 (cách tạo ra mật khẩu).
Lời giải:
Tập hợp A gồm các địa chỉ IP có dạng 192.168.abc.deg.
+ Chọn a từ các chữ số 1, 2, có 2 cách chọn a.
+ Chọn d từ các chữ số 1, 2, sao cho a, d khác nhau, do đó có 1 cách chọn d.
+ b, c, e, g là các chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, mỗi cách chọn các chữ số b, c, e, g là một chỉnh hợp chập 4 của 6, do đó có cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số phần tử của tập hợp A chính là số cách lập được các địa chỉ IP thỏa mãn và là 2 . 1 . 360 = 720.
Vậy tập hợp A có 720 phần tử.
Lời giải:
Việc xếp vị trí chụp ảnh là việc thực hiện hai hành động liên tiếp:
+ Thứ nhất, chọn ra 7 bạn trong 22 bạn để ngồi ở hàng đầu và xếp thứ tự 7 bạn đó. Mỗi cách xếp là một chỉnh hợp chập 7 của 22. Do đó, có cách.
+ Thứ hai, còn lại 22 – 7 = 15 bạn, xếp thứ tự 15 bạn đứng ở hàng sau. Mỗi cách xếp 15 bạn là một hoán vị của 15 phần tử. Do đó, có P15 = 15! cách.
Theo quy tắc nhân, vậy số cách xếp vị trí chụp ảnh để 7 bạn ngồi ở hàng đầu và 15 bạn đứng ở hàng sau là: (cách).
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:
