Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 11 (Kết nối tri thức): Hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 11: Hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo

Mở đầu trang 52 Chuyên đề Toán 11: Trong vẽ kĩ thuật, người ta thường sử dụng các hình vẽ trên giấy để biểu diễn, mô tả các vật thể trong không gian (H.3.1). Toán học mô tả các hình vẽ đó như thế nào, và chúng có những đặc điểm gì? Em hãy cùng tìm hiểu qua bài học này.

Lời giải:

Toán học mô tả các hình vẽ đó bằng cách chiếu các vật thể theo các hình chiếu nhất định để được hình biểu diễn của vật thể. Phụ thuộc vào các dạng chiếu mà hình biểu diễn cho ta những đặc điểm cụ thể khác nhau. Để hiểu rõ hơn về kiến thức này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu trong bài học này.

1.Hình biểu diễn của một hình, khối

HĐ1 trang 53 Chuyên đề Toán 11: Hình 3.2 mô tả ba phép chiếu biến hình ℋ thành hình ℋ '. Em đã biết những phép chiếu nào trong ba phép chiếu đó? Hãy nhắc lại khái niệm về các phép chiếu mà em đã học.

Lời giải:

Hình 3.2a sử dụng phép chiếu song song. Phép chiếu song song là phép chiếu có các tia chiếu song song với nhau nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Hình 3.2b sử dụng phép chiếu vuông góc. Phép chiếu vuông góc là phép chiếu có các tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Hình 3.2c sử dụng phép chiếu xuyên tâm. Phép chiếu xuyên tâm là phép chiếu có các tia chiếu xuất phát tại một điểm (điểm này gọi là tâm chiếu).

Luyện tập 1 trang 54 Chuyên đề Toán 11: Quan sát Hình 3.4 và cho biết hình nào thể hiện hình chiếu trục đo của tứ giác ABCD.

Lời giải:

Hình 3.4c có các đường thẳng AA', BB', CC', DD' đôi một song song nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu nên Hình 3.4c thể hiện hình chiếu trục đo của tứ giác ABCD.

2.Hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh

HĐ2 trang 54 Chuyên đề Toán 11: Quan sát Hình 3.5 và cho biết các hình A, B, C có phải là hình chiếu của hình ℋ qua các phép chiếu song song hoặc vuông góc hay không. Nếu có hãy chỉ rõ mặt phẳng chiếu và phương chiếu của mỗi phép chiếu đó.

Lời giải:

Hình A là hình chiếu của ℋ  qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P₁), phương chiếu song song với Oy.

Hình B là hình chiếu của ℋ  qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P₂), phương chiếu song song với Oz.

Hình C là hình chiếu của ℋ  qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P₃), phương chiếu song song với Ox.

Luyện tập 2 trang 55 Chuyên đề Toán 11: Xác định hình chiếu vuông góc của hình ℋ (H.3.8a) trong các hình dưới đây.

Lời giải:

Hình 3.8b là hình chiếu đứng của hình ℋ. 

Hình 3.8c là hình chiếu cạnh của hình ℋ. 

Hình 3.8d không là hình chiếu vuông góc nào của hình ℋ.  

Luyện tập 3 trang 56 Chuyên đề Toán 11: Thực hiện Ví dụ 3 khi mặt phẳng hình chiếu đứng (P₁) song song với mặt phẳng (SBD), mặt phẳng hình chiếu bằng (P₂) song song với mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Vì đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) nên cũng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng (P₁). Do đó hình chiếu đứng của ba điểm B, O, D trùng nhau.

Do vậy hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hình chóp S.ABCD trong trường hợp này lần lượt được vẽ như hình dưới đây:

Câu hỏi trang 56 Chuyên đề Toán 11: Hãy giải thích tại sao trong Hình 3.9b, điểm B' (hình chiếu đứng của B) là trung điểm của đoạn thẳng A'C' (hình chiếu đứng của AC).

Lời giải:

Vì với hướng nhìn từ trước, điểm B trùng với điểm O của vật thể, nói cách khác điểm B' (hình chiếu đứng của B) trùng với điểm O' (hình chiếu đứng của O).

Mà điểm O là trung điểm của AC, nên O' là trung điểm của A'C' (hình chiếu đứng của AC).

Do vậy điểm B' (hình chiếu đứng của B) là trung điểm của đoạn thẳng A'C' (hình chiếu đứng của AC).

Vận dụng 1 trang 56 Chuyên đề Toán 11: Trong vẽ kĩ thuật có hai phương pháp chiếu là phương pháp chiếu góc thứ nhất và phương pháp chiếu góc thứ ba. Với phương pháp chiếu góc thứ nhất, vật thể luôn nằm giữa người quan sát và các mặt phẳng hình chiếu (H.3.5), còn phương pháp chiếu góc thứ ba thì các mặt phẳng hình chiếu luôn nằm giữa người quan sát và vật thể (H.3.10). Mỗi hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng nhận được từ hai phương pháp chiếu đều bằng nhau. Hãy giải thích tại sao.

Lời giải:

Mỗi hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng nhận được từ hai phương pháp chiếu đều bằng nhau vì phương chiếu và mặt phẳng chiếu của hai phương pháp là như nhau nên sẽ nhận được những hình bằng nhau.

3. Mối liên hệ giữa ba hình chiếu vuông góc

HĐ3 trang 56 Chuyên đề Toán 11: Trong không gian cho điểm A và hai mặt phẳng hình chiếu đứng, hình chiếu bằng (P₁), (P₂) cắt nhau theo giao tuyến Ox. Gọi A₁ và A₂ lần lượt là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A (H.3.11a). Quay mặt phẳng (P₂) quanh Ox sao cho (P₂) trùng với (P₁). Khi đó hai điểm A₁ và A₂ cùng thuộc mặt phẳng (P₁) (H.3.11b).

a) Nhận xét vị trí của các điểm A₁, A₂ đối với đường thẳng Ox. Đường thẳng A₁A₂ có vuông góc với Ox hay không?

b) Hãy trình bày cách xác định điểm A khi biết các điểm A₁, A₂ trong mặt phẳng (P₁).

Lời giải:

a) Điểm A₁ và điểm A₂ nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng Ox. Đường thẳng A₁A₂ có vuông góc với Ox.

b) Ta có: A₁M = AA₂ (do tứ giác A₁MA₂A là hình chữ nhật).

Từ A₂ kẻ đường thẳng A₂A bằng đường thẳng A₁M (A thuộc A₁A₂). Ta xác định được điểm A.

Luyện tập 4 trang 57 Chuyên đề Toán 11: Trong Hình 3.13, hình nào thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm A trong không gian?

Lời giải:

Nếu A₁ và A₂ là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A thì đường thẳng A₁A₂ vuông góc với Ox. Do đó Hình 3.13c thể hiện đúng hai hình chiếu của điểm A.

HĐ4 trang 58 Chuyên đề Toán 11: Trong HĐ2, gọi (P₃) là mặt phẳng hình chiếu cạnh và A₃ là hình chiếu cạnh của A. Gọi Oz là giao tuyến của (P₁) và (P₃), Oy là giao tuyến của (P₂) và (P₃). Quay mặt phẳng (P₂) quanh Ox sao cho (P₂) trùng với (P₁) và quay mặt phẳng (P₃) quanh Oz sao cho (P₃) trùng với (P₁), khi đó ba điểm A₁, A₂, A₃ cùng thuộc mặt phẳng (P₁) (H.3.14).

a) Đường thẳng A₁A₃ có vuông góc với đường thẳng Oz hay không? Khoảng cách từ A₃ đến Oz có bằng khoảng cách từ A₂ đến Ox hay không?

b) Trong mặt phẳng (P₁), trình bày cách xác định điểm A₃ khi biết hai điểm A₁, A₂.

Lời giải:

a) Đường thẳng A₁A₃ có vuông góc với đường thẳng Oz. Khoảng cách từ A₃ đến Oz bằng khoảng cách từ A₂ đến Ox.

b) Ta có A₁A₂ vuông góc với Ox nên gọi giao điểm của A₁A₂ với Ox là M.

Từ A₁ kẻ đường thẳng song song với Ox và vuông góc với Oz. Gọi giao điểm của đường thẳng kẻ từ A₁ với Oz là P.

Khoảng cách từ A₃ đến Oz bằng khoảng cách từ A₂ đến Ox hay A₂M = A₃P. Từ P kẻ A₃P sao cho A₁, P, A₃ thẳng hàng theo thứ tự và A₂M = A₃P.

Luyện tập 5 trang 59 Chuyên đề Toán 11: Hình 3.16 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một đoạn thẳng AB trong không gian. Xác định hình chiếu bằng của đoạn thẳng đó

Lời giải:

Hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB có hai đầu mút là hình chiếu bằng A₂ của A và hình chiếu bằng B₂ của B.

+ Để xác định A₂ ta làm như sau:

- Qua điểm A­₃ vẽ đường thẳng vuông góc với Ox tại D và trên tia đối của tia Oz lấy điểm F sao cho OD = OF.

- Vẽ đường thẳng qua A₁ vuông góc với Ox, vẽ đường thẳng qua F vuông góc với Oz, hai đường thẳng này cắt nhau tại A₂.

+ Tương tự xác định B₂.

+ Nối A₂ và B₂ ta nhận được hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB.

Vận dụng 2 trang 59 Chuyên đề Toán 11: Dựa vào mối liên hệ giữa ba hình chiếu, giải thích cách bố trí các hình chiếu trên bản vẽ kĩ thuật. Vì sao đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu?

Lời giải:

Đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu vì từ hai hình chiếu cho trước ta có thể xác định được hình chiếu các đoạn thẳng thuộc hình chiếu còn lại từ hình chiếu các đoạn thẳng ở hai hình chiếu cho trước.

4. Hình chiếu trục đo

HĐ5 trang 59 Chuyên đề Toán 11: Cho hình hộp chữ nhật ℋ. Quan sát hình chiếu song song ℋ ' của hình ℋ lên mặt phẳng (P) theo phương l (H.3.17) và trả lời các câu hỏi sau:

a) Hình ℋ ' có phải là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng hay hình chiếu cạnh của hình ℋ hay không?

b) Phương chiếu l có song song với mặt nào của hình hộp chữ nhật ℋ  hay không?

Lời giải:

a) Hình ℋ ' không là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng hay hình chiếu cạnh của hình ℋ  vì hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh là các hình chiếu vuông góc của hình ℋ  lên các mặt phẳng chiếu tương ứng.

b) Phương chiếu l không song song với mặt nào của hình hộp chữ nhật ℋ . 

Câu hỏi trang 60 Chuyên đề Toán 11: Tại sao hình chiếu trục đo thường thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc?

Lời giải:

Hình chiếu trục đo thường thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc vì trong hình chiếu vuông góc (tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu), sẽ có các điểm, các đường thẳng trùng nhau (hay bị khuất) do hướng nhìn vuông góc, trong khi ở hình chiếu trục đo (tia chiếu song song với mặt phẳng chiếu), sẽ có nhiều điểm, đường thẳng không bị che khuất nên thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn.

Luyện tập 6 trang 60 Chuyên đề Toán 11: Trong các hình chiếu song song sau (H.3.20), hình nào thể hiện đúng hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật?

Lời giải:

Trong Hình 3.20a và 3.20b chỉ thấy được hai mặt của hình hộp chữ nhật nên không là hình chiếu trục đo của hình hộp chữ nhật. Trong Hình 3.20c có thể thấy được cả ba mặt của hình hộp chữ nhật nên hình này là hình chiếu trục đo của hình hộp chữ nhật.

Vận dụng 3 trang 61 Chuyên đề Toán 11: Xoay một hình lập phương để có thể quan sát được cả ba mặt của nó. Khi đó các thành phần quan sát được của hình lập phương có tạo thành hình chiếu trục đo của nó hay không? Hãy giải thích tại sao.

Lời giải:

Các phần quan sát được của hình lập phương có tạo thành hình chiếu trục đo của nó. Vì đây là hình chiếu song song của hình lập phương lên một mặt phẳng nào đó theo phương từ mắt ta qua vật thể rồi đến mặt phẳng không song song với bề mặt nào của hình lập phương. 

HĐ6 trang 61 Chuyên đề Toán 11: Giả sử hình hộp chữ nhật ℋ trong HĐ5 được gắn thêm các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc dọc theo chiều dài, chiều rộng và chiều cao của ℋ. Gọi O'x', O'y' và O'z' lần lượt là hình chiếu của các trục đó lên mặt phẳng (P) theo phương l (H.3.21).

a) Hình chiếu của các góc $\widehat{xOy},\widehat{yOz},\widehat{zOx}$  là các góc nào trên mặt phẳng hình chiếu?

b) Giả sử M, N là hai điểm thuộc trục Oz và M', N' là hình chiếu tương ứng thuộc trục O'z'. So sánh hai tỉ số $\frac{O\text{'}M\text{'}}{OM}$  và $\frac{O\text{'}N\text{'}}{ON}$ .

Lời giải:

a) Hình chiếu của các góc $\widehat{xOy},\widehat{yOz},\widehat{zOx}$ lần lượt là các góc $\widehat{x\text{'}O\text{'}y\text{'}},\widehat{y\text{'}O\text{'}z\text{'}},\widehat{z\text{'}O\text{'}x\text{'}}$  trên mặt phẳng hình chiếu.

b) Ta có: OO’ // MM' // NN'.

Suy ra $\frac{O\text{'}M\text{'}}{O\text{'}N\text{'}}=\frac{OM}{ON}$  , do đó $\frac{O\text{'}M\text{'}}{OM}$  = $\frac{O\text{'}N\text{'}}{ON}$ .

Luyện tập 7 trang 62 Chuyên đề Toán 11: Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được cho như trong Hình 3.22b. Biết các hệ số biến dạng là p = 1, q = r = 0,5. Tính kích thước thực tế của hình hộp chữ nhật đó.

Lời giải:

Gọi O, A, B, C là các đỉnh của hình hộp chữ nhật.

Ta có O' là hình chiếu trục đo của O.

Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu trục đo của A, B, C trên O'x', O'y', O'z'.

Ta có: $p=\frac{O\text{'}A\text{'}}{OA}=1$ , mà O'A' = 5 cm nên OA = O'A' = 5 cm.

$q=\frac{O\text{'}B\text{'}}{OB}=0,5$, mà O'B' = 3 cm nên OB = $\frac{O\text{'}B\text{'}}{0,5}=\frac{3}{0,5}=6$  cm.

$r=\frac{O\text{'}C\text{'}}{OC}=0,5$, mà O'C' = 2 cm nên OC = $\frac{O\text{'}C\text{'}}{0,5}=\frac{2}{0,5}=4$  cm.

HĐ7 trang 62 Chuyên đề Toán 11: Cho hình tứ diện vuông OABC có các cạnh OA, OB, OC bằng nhau và lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) đi qua O sao cho các trục Ox, Oy, Oz tạo với (P) các góc bằng nhau (H.3.23a). Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu của A, B, C.

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

b) Giải thích tại sao các khoảng cách từ A, B, C đến (P) bằng nhau, từ đó suy ra mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (P).

c) Gọi I là tâm tam giác đều ABC. Giải thích tại sao $\widehat{A\text{'}OB\text{'}}=\widehat{AIB}$ , từ đó suy ra $\widehat{A\text{'}O\text{'}B\text{'}}=\widehat{B\text{'}O\text{'}C\text{'}}=\widehat{A\text{'}O\text{'}C\text{'}}=120°$ .

Lời giải:

a) Ta có: OA = OB = OC, $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COA}=90°$ .

Suy ra các tam giác AOB, BOC và COA bằng nhau từng đôi một.

Từ đó suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC là tam giác đều.

b) Ta có: OA = OB = OC;$\widehat{AA\text{'}O}=\widehat{BB\text{'}O}=\widehat{CC\text{'}O}=90°$ ; $\widehat{AOA\text{'}}=\widehat{BOB\text{'}}=\widehat{COC\text{'}}=\alpha$ .

Do đó, các tam giác AA'O, BB'O và CCO' bằng nhau từng đôi một.

Từ đó suy ra AA' = BB' = CC'.

Do đó, khoảng cách từ A, B, C đến (P) bằng nhau.

Ta có: AA' = BB', AA' // BB' nên ABB'A' là hình bình hành.

Suy ra: AB // A'B'.

Tương tự ta chứng minh BC // B'C'; CA // C'A'

Mà A'B', B'C', C'A' thuộc (P)

Suy ra: (ABC) song song với (P).

c) Dễ dàng chứng minh được IA = O'A' (AIO'A' là hình bình hành).

Tương tự IB = O'B', AB = A'B'.

Do đó ∆IAB = ∆O'A'B' (c.c.c).

Suy ra $\widehat{A\text{'}O\text{'}B\text{'}}=\widehat{AIB}$ .

Tương tự, ta chứng minh được $\widehat{A\text{'}O\text{'}C\text{'}}=\widehat{CIA};\widehat{B\text{'}O\text{'}C\text{'}}=\widehat{BIC}.$

Do I là tâm tam giác đều ABC nên dễ dàng chứng minh được $\widehat{AIB}=\widehat{BIC}=\widehat{CIA}=120°$ .

Nên suy ra $\widehat{AIB}=\widehat{BIC}=\widehat{CIA}=\widehat{A\text{'}O\text{'}B\text{'}}=\widehat{B\text{'}O\text{'}C\text{'}}=\widehat{A\text{'}O\text{'}C\text{'}}$ .

Vậy $\widehat{A\text{'}O\text{'}B\text{'}}=\widehat{B\text{'}O\text{'}C\text{'}}=\widehat{A\text{'}O\text{'}C\text{'}}=120°$ .

Câu hỏi trang 63 Chuyên đề Toán 11: Hãy quan sát hình ảnh mở đầu (H.3.1) và cho biết hình nào là hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.

Lời giải:

Hình màu cam trong Hình 3.1 là hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.

Luyện tập 8 trang 64 Chuyên đề Toán 11: Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được vẽ trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.25. Quy ước độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 mm, xác định kích thước mỗi chiều của hình hộp đó.

Lời giải:

Chiều dài của hình hộp là: 3 . 10 = 30 (mm).

Chiều rộng của hình hộp là: 2 . 10 = 20 (mm). 

Chiều cao của hình hộp là: 4 . 10 = 40 (mm).

Vận dụng 4 trang 64 Chuyên đề Toán 11: Hình 3.26a thể hiện cách vẽ dạng nổi của chữ cái “L” trên giấy kẻ ô tam giác đều. Hình nhận được là một hình chiếu trục đo vuông góc đều. Bằng cách tương tự hãy vẽ dạng nổi của chữ cái “T” (H.3.26b).

Lời giải:

Ta vẽ được dạng nổi của chữ cái “T” như sau:

Giải bài tập trang 64, 65, 66 Chuyên đề Toán 11 Bài 11

Bài 3.1 trang 64 Chuyên đề Toán 11: Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào là đúng?

a) Hình chiếu đứng của một hình ℋ  là hình chiếu song song của hình ℋ  lên một mặt phẳng nào đó.

b) Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

c) Hình chiếu cạnh của một đường thẳng luôn là một đường thẳng.

d) Hình chiếu bằng của hai điểm phân biệt luôn là hai điểm phân biệt.

Lời giải:

- Khẳng định a) là khẳng định sai vì hình chiếu đứng của một hình ℋ  là hình chiếu vuông góc của hình ℋ  lên một mặt phẳng nào đó.

- Khẳng định b) là khẳng định đúng.

- Khẳng định c) là khẳng định đúng.

- Khẳng định d) là khẳng định sai vì hình chiếu bằng của hai điểm phân biệt có thể là hai điểm trùng nhau.

Bài 3.2 trang 64 Chuyên đề Toán 11: Cho ví dụ về một vật thể có cả ba hình chiếu vuông góc là:

a) hình chữ nhật;

b) hình tròn.

Lời giải:

a) Hình hộp chữ nhật có cả ba hình chiếu vuông góc đều là hình chữ nhật.

b) Hình cầu có cả ba hình chiếu vuông góc đều là hình tròn.

Bài 3.3 trang 65 Chuyên đề Toán 11: Trên hình chiếu của mỗi vật thể (H.3.27) còn thiếu một số nét. Bổ sung các nét còn thiếu đó.

Lời giải:

Bổ sung các nét còn thiếu trên hình chiếu của mỗi vật thể trong Hình 3.27 như sau:

Bài 3.4 trang 65 Chuyên đề Toán 11: Bạn Hoàng nói rằng, “hình chiếu đứng của một đoạn thẳng luôn có độ dài lớn hơn độ dài của đoạn thẳng đó”. Bạn Hoàng nói đúng hay sai? Vì sao?

Lời giải:

Bạn Hoàng nói sai vì hình chiếu vuông góc luôn bảo toàn độ lớn của đoạn thẳng.

Bài 3.5 trang 65 Chuyên đề Toán 11: Khi nào thì hình chiếu đứng của một đoạn thẳng AB là một điểm? Khi nào thì hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB là một điểm?

Lời giải:

- Khi đoạn thẳng AB vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng thì hình chiếu đứng của một đoạn thẳng AB là một điểm.

- Khi đoạn thẳng AB vuông góc với mặt phẳng chiếu bằng thì hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB là một điểm.

Bài 3.6 trang 65 Chuyên đề Toán 11: Cho đoạn thẳng AB và gọi A₁B₁ là hình chiếu đứng của AB. Biết đường thẳng AB song song với mặt phẳng hình chiếu đứng, chứng minh rằng AB = A₁B₁.

Lời giải:

Từ A, B kẻ các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng (P). Đường thẳng qua A và B lần lượt giao với mặt phẳng (P) tại các điểm A₁, B₁.

Ta có: AA₁ // BB₁ (vì AA₁, BB₁ cùng vuông góc với (P))

Vì AB // (P) nên khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ B đến (P).

Hay AA₁ = BB₁.

Do đó, tứ giác AA₁B₁B là hình bình hành.

Suy ra: AB = A₁B₁.

Bài 3.7 trang 65 Chuyên đề Toán 11: Trong các hình của Hình 3.28, hình nào là hình chiếu trục đo của hình lăng trụ tam giác?

Lời giải:

Trong Hình 3.28a và 3.28b chỉ thấy được một mặt của hình lăng trụ tam giác nên do đó hai hình này không phải là hình chiếu trục đo của hình lăng trụ tam giác. Trong Hình 3.28c có thể thấy được hai mặt của hình lăng trụ tam giác nên hình này là hình chiếu trục đo của hình lăng trụ tam giác.

Bài 3.8 trang 65 Chuyên đề Toán 11: Trong các hình của Hình 3.29, hình nào là hình chiếu trục đo vuông góc đều của một hình lập phương? Giải thích vì sao.

Lời giải:

Hình 3.29a là hình chiếu trục đo vuông góc đều của một hình lập phương vì đáy của hình chiếu vuông góc với phương chiếu l thẳng đứng; góc trục đo bằng 120°; hệ số biến dạng bằng 1 (chú ý đến độ dài các cạnh của hình chiếu).

Hình 3.29b và 3.29c không phải là hình chiếu trục đo vuông góc đều của hình lập phương vì góc trục đo không cùng bằng 120°; hệ số biến dạng không cùng bằng 1 (chú ý đến độ dài các cạnh của hình chiếu).

Bài 3.9 trang 66 Chuyên đề Toán 11: Cho hình tứ diện OABC có OA = 2 cm, OB = 3 cm và OC = 6 cm. Hình chiếu trục đo của hình tứ diện được cho như trong Hình 3.30. Tính hệ số biến dạng theo mỗi trục đo.

Lời giải:

Hệ số biến dạng theo mỗi trục đo O'x', O'y', O'z' lần lượt là:

$p=\frac{O\text{'}A\text{'}}{OA}=\frac{2}{2}=1$;

$q=\frac{O\text{'}B\text{'}}{OB}=\frac{1}{3}$;

$r=\frac{O\text{'}C\text{'}}{OC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Bài 3.10 trang 66 Chuyên đề Toán 11: Trong HĐ7, bằng cách xét tam giác vuông OIA và tính tỉ số $\frac{IA}{OA}$ , chứng minh rằng trong phép chiếu trục đo vuông góc đều thì p = q = r = $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: O.ABC là hình chóp tam giác đều nên OA = OB = OC. 

Vì I là tâm tam giác đều ABC nên . (1)

Tam giác OBC vuông cân tại O nên OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến.

Suy ra $OM=\frac{1}{2}BC$  hay 2OM = BC.

Tam giác vuông cân OBC có 2OB² = BC².

Do đó: 2OB² = 4OM². Suy ra OM² = $\frac{1}{2}$ OA². (2)

Tam giác OIM vuông tại I có: OI² + IM² = OM². (3)

Mà OI² = OA² – IA² (tam giác OIA vuông tại I) (4)

Thay (1), (2), (4) vào (3) ta được: $O{A}^2-I{A}^2+\frac{1}{4}I{A}^2=\frac{1}{2}O{A}^2$ .

Suy ra $\frac{I{A}^2}{O{A}^2}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{IA}{OA}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Mà IA = O'A' (do AIO'A' là hình bình hành).

Do đó, p = q = r = $\frac{O\text{'}A\text{'}}{OA}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Bài 3.11 trang 66 Chuyên đề Toán 11: Hình chiếu trục đo của một vật thể được vẽ trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.31. Quy ước độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 cm, tính thể tích của vật thể đó.

Lời giải:

Chia vật thể thành hai hình hộp chữ nhật A và B (hình vẽ dưới).

Hình hộp chữ nhật A có: Chiều dài đáy 50 cm, chiều rộng đáy 30 cm, chiều cao 20 cm. 

Thể tích hình hộp chữ nhật A là: 50 . 30 . 20 = 30 000 (cm³).

Hình hộp chữ nhật B có: Chiều dài đáy 30 cm, chiều rộng đáy 20 cm, chiều cao 20 cm.

Thể tích hình hộp chữ nhật B là: 30 . 20 . 20 = 12 000 (cm³).

Do đó, thể tích vật thể là: 30 000 + 12 000 = 42 000 (cm³).

Xem thêm các bài giải Chuyên đề học tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 9: Đường đi Euler và đường đi Hamilton

Bài 10: Bài toán tìm đường tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 12: Bản vẽ kĩ thuật

Bài tập cuối chuyên đề 3