Công thức tính thể tích khối lăng trụ hay, nhanh nhất

Công thức tính thể tích khối lăng trụ

Lí thuyết

a. Định nghĩa: Một đa giác có hai mặt đáy song song và bằng nhau, mặt bên là hình bình hành thì đa giác đó gọi là hình lăng trụ.

b. Các tính chất hình lăng trụ:

- Các cạnh bên song song và bằng nhau

- Các mặt bên là hình bình hành

- Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau và nằm trong 2 mặt phẳng song song với nhau

c. Một số loại lăng trụ thường gặp

- Lăng trụ xiên: Giống với tính chất của hình lăng trụ thông thường

- Lăng trụ đứng: 

+ Các cạnh bên vuông góc với đáy.

+ Các cạnh bên chính là đường cao của nó

+ Các mặt bên là hình chữ nhật

- Lăng trụ đều:

+ Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

+ Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau

- Hình hộp: Là lăng trụ có đáy là hình bình hành

+ Hình hộp đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy

+ Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật

+ Hình lập phương là hình hộp đứng có tất cả các cạnh bằng nhau.

Công thức tính thể tích khối lăng trụ

- Cho khối lăng trụ có:                                                                      

+ Chiều cao là h                                                                                

+ Diện tích đáy là S

Khi đó thể tích: V = h.S 

- Thể tích của hình hộp chữ nhật có:

+ Chiều dài a

+ Chiều rộng b

+ Chiều cao h là:

 V = a.b.h

- Thể tích hình lập phương cạnh a là V = a³ 

Công thức nhanh về tỉ số thể tích của khối lăng trụ

Công thức 1: Hình lăng trụ tam giác

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C ‘. Trên các cạnh AA ‘, BB’, CC ‘lần lượt lấy các điểm M, N, P. Sau đó, chúng tôi có tỷ lệ sau:

Công thức 2: Hình lăng trụ đứng là hình bình hành (hình hộp)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D ‘. Trên các cạnh AA ‘, BB’, CC ‘, DD’ lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho M, N. P, Q đồng phẳng. Sau đó, chúng tôi có tỷ lệ sau:

Các dạng toán tính thể tích khối lăng trụ

Dạng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đứng

VD1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại B. Biết AC = a√2 và BC^' = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

                                                                      Lời giải:

Ta có ΔABC vuông cân tại B nên AB = BC = a 

ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên C^'C ⊥ BC. Do đó ΔBCC^' vuông tại C

Áp dụng định lí Pytago ta được: CC^' = a√3

Diện tích ΔABC bằng  

Suy ra  

VD2. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cạnh a. Góc giữa A’B với đáy bằng 60⁰ .Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên A^'A ⊥ (ABC)  và ABC là tam giác đều

Ta có (A^'B,(ABC)) = (A^'B,AB) =  = 60⁰ => A^'A = AB.tan60⁰ = a√3  

Diện tích tam giác đều ABC là  

Do đó thể tích lăng trụ là  

Dạng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ xiên

VD1. Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên bằng a√3 và hợp với đáy một góc bằng 45⁰. Thể tích của lăng trụ bằng?

Lời giải:

Gọi hình chiếu vuông góc của C’ xuông (ABC) là H.

Khi đó (C^'C,(ABC)) = (C^'C,HC) =  = 45⁰ => C^'H = C^'C.sin45⁰ = 

Diện tích tam giác ABC là  

Suy ra thể tích lăng trụ là  

VD2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống (ABC) là trung điểm H của AB. Mặt bên (ACC’A’) tạo với đáy góc 60⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Lời giải:

Trong (ABC) kẻ HK ⊥ AC 

Ta có:  

Khi đó góc giữa (ABC) và (ACC’A’) là góc giữa HK và A’K là  

Xét tam giác AHK vuông tại K có 

Xét tam giác A’HK vuông tại H có  

Diện tích tam giác ABC là  

Suy ra thể tích lăng trụ là  

Luyện tập

Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A; AB = a, Khoảng cách từ A đến mp (A’BC) bằng . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a.  ; AC^' = 2a. Tính thể tích lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

Bài 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B; AB = a. Hình chiếu của A’ lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC = 2HA. Mặt bên (ABB^'A^') tạo với đáy góc 60⁰ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Bài 4. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên AA’ = a. Hình chiếu của A’ trên mp (ABCD) trùng với trung điểm I của cạnh AB. Gọi K là trung điểm BC. Tính thể tích khối chóp A’.IKD

Bài 5. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu H của A’ lên mp (ABC) trùng với trung điểm của BC. Góc giữa mp (A’ABB’) và đáy bằng 60⁰. Tính thể tích khối tứ diện ABCA’.

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

60 Bài tập về hình lăng trụ đứng (có đáp án năm 2024)

60 Bài tập về diện tích xung quanh của hình lăng trụ. Thể tích của hình lăng trụ (có đáp án năm 2024)

300 Bài tập Toán 8 chương 4: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều (có đáp án năm 2024)

70 Bài tập Hình lăng trụ đứng tam giác. Hình lăng trụ đứng tứ giác (có đáp án năm 2024)

Diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác, lăng trụ đứng tứ giác