Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) $f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}$;

b) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + {x^2}\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\4 - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.$.

Lời giải:

a) $f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}$

Biểu thức $\frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}$ có nghĩa khi x² + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne - 3\end{array} \right.$.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).

Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞).

b) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + {x^2}\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\4 - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.$

Tập xác định của hàm số là ℝ.

+) Nếu x < 1, thì f(x) = 1 + x².

Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.

Vậy nó liên tục trên (–∞; 1).

+) Nếu x > 1, thì f(x) = 4 – x.

Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.

Vậy nó liên tục trên (1; +∞).

+) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4 - x} \right) = 4 - 1 = 3$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + {x^2}} \right) = 1 + {1^2} = 2$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)$, do đó không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = 1.

Khi đó, hàm số f(x) không liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (–∞; 1), (1; +∞) và gián đoạn tại x = 1.