Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, tia Ox
323
11/04/2023
HĐ4 trang 51 Toán 10 Tập 2: Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, tia Ox trùng tia OF2 (H.7.26). Nêu tọa độ của các tiêu điểm F1, F2. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi
|√(x+c)2+y2−√(x−c)2+y2|=2a. (3)

Trả lời
+) Vì F1F2 = 2c, mà O là trung điểm của F1F2.
Do đó ta có: F1O = F2O = 2c : 2 = c.
Quan sát hình ta thấy, điểm F1 thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F1O nên tọa độ F1(– c; 0).
Điểm F2 thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F2O nên tọa độ F2(c; 0).
Vậy tọa độ các tiêu điểm: F1(– c; 0) và F2(c; 0).
+) Giả sử M(x; y) thuộc hypebol (H) ta cần chứng minh:
|√(x+c)2+y2−√(x−c)2+y2|=2a.
Thật vậy, M thuộc hypebol (H) nên: |MF1 – MF2|= 2a.
Lại có: MF1 = √(x−(−c))2+(y−0)2=√(x+c)2+y2;
MF2 = √(x−c)2+(y−0)2=√(x−c)2+y2.
⇒ |MF1 – MF2| = |√(x+c)2+y2−√(x−c)2+y2|=2a.
Vậy |√(x+c)2+y2+√(x−c)2+y2|=2a.
+) Giả sử |√(x+c)2+y2−√(x−c)2+y2|=2a, ta cần chứng minh M thuộc hypebol (H).
Thật vậy: |√(x+c)2+y2−√(x−c)2+y2|=2a nên: |MF1 – MF2|= 2a.
Vậy M thuộc hypebol (H).