Do $m\ne -1$  nên không mất tính tổng quát ta giả sử (d) cắt Ox và Oy như hình vẽ

Vì A là giao điểm của $\left(d\right)$  với Ox nên $A\left(x;0\right)\Rightarrow \left(m+1\right)x+2=0\Rightarrow x=-\frac{2}{m+1}$

Suy ra  $A\left(-\frac{2}{m+1};0\right)\Rightarrow OA=\frac{2}{\left|m+1\right|}$

Vì B là giao điểm của $\left(d\right)$  với Oy nên $B\left(0;y\right)\Rightarrow \left(m+1\right).0+2=y\Rightarrow y=2$

Suy ra $B\left(0;2\right)\Rightarrow OB=2$

Vì $\Delta OAB$  vuông tại O.

Khi đó: $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{2}{\left|m+1\right|}.2=\frac{2}{\left|m+1\right|}$

Mà $S_{\Delta OAB}=2\iff \left|m+1\right|=1\iff \left[\begin{array}{l}m+1=1\\ m+1=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-2\end{array}\right.$  (thỏa mãn $m\ne -1$ )

Vậy $m=0$  hoặc $m=-2$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.