Cho x,y thỏa mãn điều kiện: 3( xcăn bậc hai của (y-9)+ycăn bậc hai của (x-9)

Trả lời

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức $ab\le \frac{a^2+b^2}{2}\forall a,b$  để chứng minh $VT\ge VP.$

Khi đó dấu “=” xảy ra và ta tìm được x, y.

Cách giải

ĐKXĐ:$\left\{\begin{array}{l}x-9\ge 0\\ y-9\ge 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ge 9\\ y\ge 9\end{array}\right.$

Ta có:

$$\begin{gathered} 3\left(x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9}\right) \\ =3x\sqrt{y-9}+3y\sqrt{x-9} \\ =3\sqrt{x}.\sqrt{x}.\sqrt{y-9}+3\sqrt{y}.\sqrt{y}.\sqrt{x-9} \\ =3\sqrt{x}.\sqrt{xy-9x}+3\sqrt{y}.\sqrt{xy-9y} \\ =\sqrt{9x}.\sqrt{xy-9x}+\sqrt{9y}.\sqrt{xy-9y} \end{gathered}$$

Với mọi $a,b$  ta có: ${\left(a-b\right)}^2\ge 0\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge 0\Rightarrow 2ab\le a^2+b^2\Rightarrow ab\le \frac{a^2+b^2}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left(a-b\right)}^2=0\Rightarrow a=b$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{9x}.\sqrt{xy-9x}\le \frac{9x+xy-9x}{2}=\frac{xy}{2}\\ \sqrt{9y}.\sqrt{xy-9y}\le \frac{9y+xy-9y}{2}=\frac{xy}{2}\end{array}\right.\Rightarrow \sqrt{9x}.\sqrt{xy-9x}+\sqrt{9y}.\sqrt{xy-9y}\le \frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=xy \\ \Rightarrow VT\le VP \end{gathered}$$

Mà theo đề bài $VT=VP$  nên dấu “=” xảy ra

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{9x}=\sqrt{xy-9x}\\ \sqrt{9y}=\sqrt{xy-9y}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}9x=xy-9x\\ 9y=xy-9y\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\left(y-18\right)=0\\ y\left(x-18\right)=0\end{array}\right.\Rightarrow x=y=18\left(dox\ge 9,y\ge 9\right) \\ \Rightarrow S={\left(x-17\right)}^{2018}+{\left(y-19\right)}^{2019}={\left(18-17\right)}^{2018}+{\left(18-19\right)}^{2019}=1-1=0. \end{gathered}$$

Vậy $S=0.$