Điều kiện: $m\ne 0$ .

+ Với $y=0\Rightarrow mx-2=0\Rightarrow mx=2\Rightarrow x=\frac{2}{m}$ .

$\Rightarrow \left(d_m\right):y=mx-2$ với cắt Ox tại điểm $A\left(\frac{2}{m};0\right)$ .

+ Với $x=0\Rightarrow y=-2\Rightarrow B\left(0;-2\right)$  là giao của $\left(d_m\right)$  và Oy.

Khi đó diện tích của tam giác sẽ là:

$S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\left|\frac{2}{m}\right|.\left|-2\right|=\frac{2}{\left|m\right|}=1\iff \left|m\right|=2\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-2\end{array}\right.$

Vậy $m=2$  hoặc $m=-2$  thì đường thẳng $\left(d_m\right)$  cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.