Cho hàm số $\left( C \right)$: $y = \frac{{{x^2} - 3x + m}}{{x - 1}}.$

Với $m = 2$, tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $\left( C \right)$ trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$.

Với $m = 2$, ta có: $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$

Ta có: $y' = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 1 > 0,\forall x \in D.$

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {2;3} \right]$.

Xét trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$, ta tính được các giá trị sau: $y\left( 2 \right) = 0,y\left( 3 \right) = 1.$

Vậy với $m = 2$, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$ bằng $1$ và giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$ bằng $0.$