Gọi $x$ là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng $\left( {30000 \le x \le 50000} \right)$, đơn vị: đồng.

Theo đề ta có:

Nếu bán với giá $50000$ đồng thì bán được $40$ quả bưởi

Giảm giá $5000$ đồng thì bán được thêm $50$ quả.

Giảm giá $50000 - x$ thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Khi đó, số quả bưởi được bán thêm là: $\left( {50000 - x} \right)\frac{{50}}{{5000}} = \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right)$.

Do đó, số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán $x$:

$40 + \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}x + 540$.

Gọi $F\left( x \right)$ là hàm lợi nhuận thu được ($F\left( x \right)$: đồng).

Ta có: $F\left( x \right) = \left( {\frac{{ - 1}}{{100}}x + 540} \right)\left( {x - 30000} \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}{x^2} + 840x - 16200000$.

Lúc này, bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số:

$F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}{x^2} + 840x - 16200000$ với $30000 \le x \le 50000$.

$F'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{50}}x + 840$

$F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{50}}x + 840 = 0 \Leftrightarrow x = 42000$.

Vì hàm $F\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {30000;\,50000} \right]$ nên ta có:

$F\left( {30000} \right) = 0$

$F\left( {42000} \right) = 1440000$

$F\left( {50000} \right) = 800000$.

Vậy với $x = 42000$ thì $F\left( x \right)$ đạt GTLN.

Vậy để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là $42000$ đồng.