Cho hàm số $\left( C \right)$: $y = \frac{{{x^2} - 3x + m}}{{x - 1}}.$

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $\left( C \right)$ với $m =  - 4.$

Với $m =  - 4$, ta có: $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}}$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  + \infty .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  - \infty .$

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  - \infty ,\)$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  + \infty$, do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = 1$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2x - 4}}{{x - 1}} =  - 2$.

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = x - 2$ làm tiệm cận xiên.

Ta có: $y' = \frac{{{x^2} - 2x + 7}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D.$

Từ đây ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right).$

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left( {0;4} \right).$

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $\left( {4;0} \right),\left( { - 1;0} \right).$

Đồ thị đi qua các điểm $\left( { - 2; - 2} \right);\left( {2; - 6} \right);\left( {3; - 2} \right);\left( {5;\frac{3}{2}} \right)$.

Đồ thị nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y = x - 2$ làm tiệm cận xiên.

Ta có đồ thị hàm số: