Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}}+\frac{4}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}$

Phương pháp:

Đánh giá và chọn ra bộ số thích hợp để chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Cách giải:

Với $a>0$  ta có hệ thức:

$\begin{array}{l}{\left(1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\right)}^2=1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}+\frac{2}{a}-\frac{2}{a+1}-2\frac{1}{a\left(a+1\right)}\\ =1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}+\frac{2}{a}-\frac{2}{a+1}-\frac{2}{a}+\frac{2}{a+1}\\ =1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}\end{array}$

Nên $\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}}=\left|1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\right|=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$

Khi đó: $T=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}}+\frac{4}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Ta sẽ chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Giả sử $M>0$  là giá trị lớn nhất của T.

Khi đó nếu ta chọn $\frac{1}{x}=M+1\iff x=\frac{1}{M+1}\in \left(0;1\right);y=2-\frac{1}{M+1}>0$ . Khi đó ta có x, y vừa chọn thỏa mãn là các số dương và $x+y=2$ .

Với bộ x, y vừa chọn ta có $T=2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>2+M+1$

Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của T.