Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;

b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh ;

c) Chứng minh MI.MK = MP²;

d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

a) Xét tứ giác AIMK  có:

 $\widehat{AIM}$= 90° (MI ⊥ AB); $\widehat{AKM}$  = 90° (MK ⊥ AC)

⇒ $\widehat{AIM}+\widehat{AKM}$  = 90° + 90° = 180°

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác AIMK nội tiếp

Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A

⇒ OB ⊥ AB; OC ⊥ AC ⇒$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}$ = 90°

Xét tứ giác ABOC có: 

 $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}$= 90° + 90° = 180°

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp

b) Xét tứ giác MPCK có:

 $\widehat{MPC}$ = 90° (MP ⊥ BC); $\widehat{MKC}$= 90° (MK ⊥ AC)

⇒ $\widehat{MPC}+\widehat{MKC}$ = 90° + 90° = 180°

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác MPCK nội tiếp

⇒ $\widehat{MPK}=\widehat{MCK}$ (cùng nhìn cạnh MK)

Xét (O) có: $\widehat{MCK}$   là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung MC

 $\widehat{MBC}$ là góc nội tiếp chắn cung MC

⇒ $\widehat{MCK}=\widehat{MBC}$

Mà $\widehat{MPK}=\widehat{MCK}$ ⇒ $\widehat{MPK}=\widehat{MBC}$

c) Xét tứ giác MIBP có:

$\widehat{MIB}$= 90° (MI ⊥ AB) ; $\widehat{MPB}$  = 90°(MP⊥BC)

⇒ $\widehat{MIB}+\widehat{MPB}$ = 90° + 90° = 180°

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒Ttứ giác MIBP nội tiếp

⇒ $\widehat{IBM}=\widehat{IPM}$ (cùng nhìn cạnh MI)

$\widehat{MIP}=\widehat{MBP}$ (cùng nhìn cạnh MP) hay $\widehat{MBC}=\widehat{MIP}$

mà $\widehat{MPK}=\widehat{MBC}$  ⇒ $\widehat{MPK}=\widehat{MIP}$

Xét (O) có: $\widehat{IBM}$  là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BM

 $\widehat{MCB}$ là góc nội tiếp chắn cung BM

⇒ $\widehat{IBM}=\widehat{MCB}$

mà  $\widehat{IBM}=\widehat{IPM}$ ⇒ $\widehat{MCB}=\widehat{IPM}$ hay  $\widehat{MCP}=\widehat{IPM}$

Tứ giác MPCK nội tiếp ⇒ $\widehat{MCP}=\widehat{MKP}$

⇒ $\widehat{IPM}=\widehat{MKP}$

Xét ΔMIP và ΔMPK có:

$\widehat{IPM}=\widehat{MKP}$

$\widehat{MIP}=\widehat{MPK}$

⇒ ΔMIP ~ ΔMPK (g.g)

⇒ MI.MP = MP.MK ⇒ MI.MK = MP²

d) Vì MI.MK = MP² nên MI.MK.MP = MP³

Tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi MP lớn nhất

Gọi H là hình chiếu của O trên BC

⇒ OH cố định (Vì O cố định; BC cố định)

Gọi D là giao điểm của MO và BC

Ta có: MP ≤ MD; OH ≤ OD

MP + OH ≤ MD + OD = MO ⇒ MP + OH ≤ R

⇒MP ≤ R−OH ⇒ MP³ ≤ (R − OH)³

Dấu "=" xảy ra khi MP = R − OH

⇒ O, H, Mthẳng hàng 

⇒ M nằm chính giữa  cung nhỏ BC

Vậy tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC.