Trong Vật lí ta biết rằng, khi một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu v0, góc ném hợp với phương

Bài 6.62 trang 27 SBT Toán 10 Tập 2: Trong Vật lí ta biết rằng, khi một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu v0, góc ném hợp với phương ngang Ox một góc α, nếu ta bỏ qua sức cản của không khí và gió, vật chỉ chịu tác động của trọng lực với gia tốc trọng trường g ≈ 9,8 m/${\mathrm{s}}^2$, thì độ cao y (so với mặt đất) của vật phụ thuộc vào khoảng cách theo phương ngang x (tính đến mặt đất tại điểm ném) theo một hàm số bậc hai cho bởi công thức

$y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$.

Như vậy quỹ đạo chuyển động của vật là một phần của đường parabol. Hãy xác định

a) Các hệ số a, b và c của hàm số bậc hai này;

b) Độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được;

c) Giả sử vận tốc ban đầu v₀ không đổi. Từ kết quả câu b) hãy xác định góc ném α để độ cao lớn nhất của vật đạt giá trị lớn nhất.

d) Một quả bóng được đá từ mặt đất lên cao với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s và góc đá so với phương ngang là α = 45°. Khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng nào (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) ?

Trả lời

a) Hàm số bậc hai $y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$.

Khi đó, các hệ số của hàm số bậc hai là $a=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }<0$ (do g, v_0­², cos²α luôn dương), b = tanα, c = 0.

b)

Toạ độ đỉnh I(x_I; y_I) của đường parabol là

Vậy độ cao lớn nhất của vật là tung độ của đỉnh parabol là: $y_{\text{max}}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}$.

c)

Theo phần b, độ cao lớn nhất $y_{\text{max}}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}\le \frac{v_0^2}{2g}$

Dấu “=” xảy ra khi

$\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}=\frac{v_0^2}{2g}$ ⇔ sin²α  = 1 ⇔ α = 90°

Như vậy góc ném α = 90°  thì độ cao lớn nhất của vật sẽ đạt giá trị lớn nhất.

d)

Ta có:

g = 9,8 m/s², v₀ = 20, α = 45°

Phương trình quỹ đạo của quả bóng là:

$$\begin{gathered} y=\left(\frac{-9,8}{{2.20}^2.{\cos }^{2}45°}\right)x^2+\left(\tan 45°\right)x \\ =-\frac{9,8}{400}{x}^2+x \end{gathered}$$

Quả bóng ở độ cao trên 5 m nghĩa là

$y=-\frac{9,8}{400}{x}^2+x>5$

⇔ 9,8x² – 400x + 2000 < 0

Xét tam thức f(x) = 9,8x² – 400x + 2 000 có:

a = 9,8 > 0

∆ = (–400)² – 4 . 9,8 . 2 000 = 81 600 > 0

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt: x₁ ≈ 34,98; x₂ ≈ 5,83

Do đó, 9,8x² – 400x + 2 000 < 0 ⇔ 5,83 < x < 34,98

Vậy khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng (5,83; 34,98) mét.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 6

Bài 19: Phương trình đường thẳng

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ